❶ 雙曲線的知識點是什麼
1、雙曲線的定義：一般的，雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡。
2、雙曲線的分支：雙曲線有兩個分支。當焦點在x軸上時，為左支與右支；當焦點在y軸上時，為上支與下支。
3、雙曲線的頂點：雙曲線和它的焦點連線所在直線有兩個交點，它們叫做雙曲線的頂點。
4、雙曲線的實軸：兩頂點之間的線段稱為雙曲線的實軸，實軸長的一半稱為半實軸。
5、雙曲線的漸近線：雙曲線有兩條漸近線。漸近線和雙曲線不相交。漸近線的方程求法是：將標准方程的右邊的常數改為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解。
❷ 有關雙曲線的所有知識點
一．雙曲線的定義及雙曲線的標准方程：
1 雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等於定長（＜|F1F2|）的點的軌跡（（為常數））這兩個定點叫雙曲線的焦點．
要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a＜|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質的不同.
當|MF1|－|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；
當|MF1|－|MF2|=－2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；
當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；
當2a＞|F1F2|時，動點軌跡不存在.
2.雙曲線的標准方程：和（a＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.
3.雙曲線的標准方程判別方法是：如果項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果項的系數是正數，則焦點在y軸上.對於雙曲線，a不一定大於b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.
4.求雙曲線的標准方程，應注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標准方程後，運用待定系數法求解.
二．雙曲線的內外部：
(1)點在雙曲線的內部.
(2)點在雙曲線的外部.
三.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.
四．雙曲線的簡單幾何性質
－=1（a＞0，b＞0）
⑴范圍：|x|≥a，y∈R
⑵對稱性：關於x、y軸均對稱，關於原點中心對稱
⑶頂點：軸端點A1（－a，0），A2（a，0）
⑷漸近線：
①若雙曲線方程為漸近線方程
②若漸近線方程為雙曲線可設為
③若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）
④與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是
⑤與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是
五．雙曲線 與 的區別和聯系
標准方程
性
質
焦點
，
焦距
范圍
頂點
對稱性
關於x軸、y軸和原點對稱
6.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交於兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝。
第三部分 典型例題分析
考點1 雙曲線的定義及標准方程
題型1：運用雙曲線的定義
[例1]某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關各點均在同一平面上)
【解題思路】時間差即為距離差，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的．
[解析]如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，
依題意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨響發生在接報中心的西偏北450距中心處.
【名師指引】解應用題的關鍵是將實際問題轉換為「數學模型」
【新題導練】
1.設P為雙曲線上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2，則△PF1F2的面積為 （ ）
A． B．12 C． D．24
解析： ①
又②
由①、②解得
直角三角形，
故選B。
2.如圖2所示，為雙曲線的左
焦點，雙曲線上的點與關於軸對稱，
則的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
[解析] ，選C
3.P是雙曲線左支上的一點，F1、F2分別是左、右焦點，且焦距為2c，則的內切圓的圓心的橫坐標為（ ）
（A） （B） （C） （D）
［解析］設的內切圓的圓心的橫坐標為，
由圓的切線性質知，
題型2 求雙曲線的標准方程
[例2 ]已知雙曲線C與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線C的方程．
【解題思路】運用方程思想，列關於的方程組
[解析]解法一：設雙曲線方程為－=1.由題意易求c=2.
又雙曲線過點（3，2），∴－=1.
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.
故所求雙曲線的方程為－=1.
解法二：設雙曲線方程為－＝1，
將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為－＝1.
【名師指引】求雙曲線的方程，關鍵是求a、b，在解題過程中應熟悉各元素（a、b、c、e及准線）之間的關系，並注意方程思想的應用.
【新題導練】
4.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ；
[解析]設雙曲線方程為，
當時，化為，，
當時，化為，，
綜上，雙曲線方程為或
5.以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為___________________.
[解析] 拋物線的焦點為，設雙曲線方程為，，雙曲線方程為
6.已知點，，，動圓與直線切於點，過、與圓相切的兩直線相交於點，則點的軌跡方程為
A． B．
C．（x > 0） D．
[解析]，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，選B
考點2 雙曲線的幾何性質
題型1 與漸近線有關的問題
1.焦點為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ）
A． B． C． D．
[解析]從焦點位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B
基礎鞏固訓練
2.以橢圓的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是
（A） （B）
（C） （D）
[解析]橢圓與雙曲線共焦點，焦點到漸近線的距離為b，選A
類型三：綜合練習
1.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為，右頂點為.
（Ⅰ）求雙曲線C的方程
（Ⅱ）若直線與雙曲線恆有兩個不同的交點A和B且（其中為原點），求k的取值范圍
解（1）設雙曲線方程為
由已知得，再由，得
故雙曲線的方程為.
（2）將代入得
由直線與雙曲線交與不同的兩點得
即且. ① 設，則
，由得，
而
.
於是，即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范圍為
2．已知直線與雙曲線交於、點。
（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過坐標原點，求實數的值；
（3）是否存在這樣的實數，使、兩點關於直線對稱？若存在，
請求出的值；若不存在，說明理由。
解：（1）由消去，得（1）
依題意即且（2）
（2）設，，則
∵ 以AB為直徑的圓過原點 ∴ ∴
但
由（3）（4），，
∴ 解得且滿足（2）
（3）假設存在實數，使A、B關於對稱，則直線與垂直
∴ ，即 直線的方程為
將代入（3）得
∴ AB中點的橫坐標為2 縱坐標為
但AB中點不在直線上，即不存在實數，使A、B關於直線對稱。
3．(1)橢圓C:(a＞b＞0)上的點A(1,)到兩焦點的距離之和為4,
求橢圓的方程;
(2)設K是(1)中橢圓上的動點, F1是左焦點, 求線段F1K的中點的軌跡方程;
(3)已知橢圓具有性質:若M、N是橢圓C上關於原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點, 當直線PM、PN的斜率都存在並記為kPM、kPN時，那麼是與點P位置無關的定值。試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質，並加以證明。
解：(1)
(2)設中點為(x,y), F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上 Þ
(3)設M(x1,y1),N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1
則 為定值.
4.已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交於P、Q兩點，並且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。
錯解 設符合題意的直線存在，並設、
則 （1）得 因為A（1，1）為線段PQ的中點， 所以 將(4)、(5)代入（3）得
若，則直線的斜率 所以符合題設條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。 應在上述解題的基礎上，再由
得 根據,說明所求直線不存在。
5.已知兩定點滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線y＝kx－1與曲線E交於A、B兩點。
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）如果且曲線E上存在點C，使求。
解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，
且，易知
故曲線的方程為
設，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交於兩點，有
解得
∵
依題意得
整理後得
∴或
但 ∴
故直線的方程為
設，由已知，得
∴，
又，
∴點
將點的坐標代入曲線的方程，得得，
但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意
∴，點的坐標為
到的距離為
∴的面積
6.已知P為雙曲線的右支上一點，分別是橢圓的長軸頂點，連接交橢圓於，若與面積相等.
（1）求直線的斜率和直線的傾斜角；
（2）當的值為多少時，直線恰好過橢圓的右焦點？
7.已知雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為，焦距為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點的直線與雙曲線交於,求線段的中點P的軌跡方程；
（3）過點能否作直線，使與所給雙曲線有兩個交點，且點是線段的中點，若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由.
8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交於兩點．
（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；
（II）在軸上是否存在定點，使·為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：由條件知，，設，．
（I）解法一：（I）設，則則，，
，由得
即
於是的中點坐標為．
當不與軸垂直時，，即．
又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．
將代入上式，化簡得．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
所以點的軌跡方程是．
（II）假設在軸上存在定點，使為常數．
當不與軸垂直時，設直線的方程是．
代入有．
則是上述方程的兩個實根，所以，，
於是
．
因為是與無關的常數，所以，即，此時=．
當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，，
此時．
故在軸上存在定點，使為常數．
9.（2009上海卷）（本題滿分16分）
已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F，一條漸近線m:,設過點A的直線l的方向向量。
（1） 求雙曲線C的方程；
（2） 若過原點的直線，且a與l的距離為，求K的值；
（3） 證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為.
（1）解 設雙曲線的方程為
，解得，雙曲線的方程為
（2）解 直線，直線
由題意，得，解得
（3）證明 方法一 設過原點且平行於的直線
則直線與的距離當時，
又雙曲線的漸近線為
雙曲線的右支在直線的右下方，
雙曲線右支上的任意點到直線的距離大於。
故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為
（3）方法二 假設雙曲線右支上存在點到直線的距離為，
則
由（1）得
設，
當時，；
將代入（2）得
，
方程不存在正根，即假設不成立，
故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為
10.（2009福建卷文）已知直線經過橢圓 的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位於軸上方的動點，直線，與直線
分別交於兩點。
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；
（Ⅲ）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數，若不存在，說明理由
解 方法一（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為
故橢圓的方程為
（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，
從而
由得0
設則得，從而
即又
由得
故
又
當且僅當，即時等號成立
時，線段的長度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當取最小值時，
此時的方程為
要使橢圓上存在點，使得的面積等於，只須到直線的距離等於，所以在平行於且與距離等於的直線上。
設直線
則由解得或
❸ 雙曲線有什麼特徵
雙曲線的基本知識點：位置關系：中心是兩焦點，兩頂點的中點：焦點在實軸上；實軸與虛軸垂直；雙曲線有兩條過中心的漸近線；准線與實軸垂直。數量關系：實軸長、虛軸長、焦距分別為2a，2b，2c。兩准線之間距離為﹔焦准距（焦參數)。離心率：...
❹ 雙曲線的基本知識點漸近線傾斜角
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❺ 雙曲線的基本知識點公式是什麼
雙曲線的基本知識點公式是：
1、雙曲線的定義及標准方程：直線與雙曲線交於一點時，不一定相切，例如：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交於一點，但不是相切；反之，當直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點。
2、應用雙曲線的定義需注意的問題：在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點（動點）具備的幾何條件，即「到兩定點（焦點）的距離之差的絕對值為一常數，且該常數必須小於兩定點的距離」．若定義中的「絕對值」去掉，點的軌跡是雙曲線的一支。
3、雙曲線方程的求法：若不能明確焦點在哪條坐標軸上，設雙曲線方程為mx＋ny＝1(mn<0)。與雙曲線x/a-y/b=1有共同漸近線的雙曲線方程可設為x/a-y/b＝λ（λ≠0)。若已知漸近線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設為mx－ny＝λ（λ≠0)。
4、直線與雙曲線的位置關系：判定直線與雙曲線的位置關系時，通常是將直線方程與雙曲線方程聯立，消去變數y(或x)得關於變數x(或y)的方程：ax＋bx＋c＝0(或ay＋by＋c＝0)。
5、直線與雙曲線的位置關系，主要涉及弦長、弦中點、對稱、參數的取值范圍、求曲線方程等問題，解題中要充分重視根與系數的關系和判別式的應用。
6、當直線與雙曲線相交時：涉及弦長問題，常用「根與系數的關系」設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦的中點問題，常用「點差法」設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化。
❻ 關於雙曲線的有關知識
雙曲線的簡單幾何性質
一、\x09本講主要內容
1、\x09雙曲線的第二定義
2、\x09雙曲線的幾何性質及應用
3、\x09直線與雙曲線的位置關系
二、\x09學習指導
1、\x09雙曲線的幾何性質分為兩大類
（1）\x09自身固有的幾何性質：
① 位置關系：中心是兩焦點,兩頂點的中點；焦點在實軸上；實軸與虛軸垂直；雙曲線有兩條過中心的漸近線；准線與實軸垂直；
② 數量關系：實軸長、虛軸長、焦距分別為2a,2b,2c.兩准線之間距離為 ； 焦准距（焦參數） ；
③ 離心率 ,e>1,e越大,雙曲線開口越闊.
（2）\x09解析性質（與坐標系有關）,列表比較如下：
\x09焦點在x軸上的雙曲線\x09焦點在y軸上的雙曲線
方 程\x09 （a>0,b>0）
（a>0,b>0）
頂 點\x09（±a,0）,（0,±b）\x09（0,±a）,（±b,0）
焦 點\x09F1（-c,0）,F2（c,0）\x09F1（0,-c）,F2(0,c)
准 線\x09x=±
y=±
漸近線\x09y=±
y=±
對稱性\x09關於x軸、y軸軸對稱,關於原點中心對稱
范 圍\x09|x|≥a,y∈R\x09|y|≥a,x∈R
焦半徑\x09P在左支：|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0
P在右支：|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a\x09P在下支：|PF1|=-a-ey0,|PF2|=a-ey0
P在上支：|PF1|=ey0+a,|pF2|=ey0-a
2、雙曲線的第二定義與橢圓第二定義相同,見教材P112.例3.第一定義與第二定義的關系見前面橢圓內容.
3、直線與雙曲線的位置關系研究完全類似於直線和橢圓.但由於雙曲線多了漸近線,因此當直線與雙曲線有一個公共點時,其位置有兩種情形：一是直線與雙曲線相切,此時直線與雙曲線方程聯立消元後所得關於x（或y）的二次方程的判別式△=0；二是直線與雙曲線相交,具體地說,也就是直線與雙曲線的漸近線平行.此時直線與雙曲線方程聯立消元之後所得關於x（或y）的方程為一次方程.
直線與雙曲線相交時,基本處理途徑有二：一是列方程組；二是用點差法.不管是哪一種途徑,都要強化設而不求的思想.
4、在 （a>0,b>0）中,若a=b,則雙曲線為等軸雙曲線,其離心率 .
5、\x09雙曲線 與 稱為共軛雙曲線.
5、它們的實軸頂點和虛軸頂點互換；它們的焦點共圓；它們的離心率e1、e2滿足 =1.
❼ 雙曲線的基本知識點是什麼
在數學中，雙曲線（多重雙曲線或雙曲線）是位於平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義，雙曲線的基本知識點如下：
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a;
結合律：（a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0
AB-AC=CB.即「共同起點，指向被減」
a=(x,y) b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y')。
雙曲線名稱定義
定義1：平面內，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數2a的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離稱為焦距，用2c表示。
定義2：平面內，到給定一點及一直線的距離之比為常數e（e>1，即為雙曲線的離心率；定點不在定直線上）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的准線。
定義3：一平面截一圓錐面，當截面與圓錐面的母線不平行也不通過圓錐面頂點，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。
定義4：在平面直角坐標系中，二元二次方程F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0滿足以下條件時，其圖像為雙曲線。
❽ 雙曲線的相關知識點
雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。
雙曲線的幾何性質分為兩大類。位置關系：中心是兩焦點，兩頂點的中點：焦點在實軸上，實軸與虛軸垂直，雙曲線有兩條過中心的漸近線，准線與實軸垂直等等。
雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。在數學中，雙曲線（多重雙曲線或雙曲線）是位於平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義。雙曲線有兩片，稱為連接的組件或分支，它們是彼此的鏡像，類似於兩個無限弓。雙曲線是由平面和雙錐相交形成的三種圓錐截面之一。（其他圓錐部分是拋物線和橢圓，圓是橢圓的特殊情況）如果平面與雙錐的兩半相交，但不通過錐體的頂點，則圓錐曲線是雙曲線。
❾ 雙曲線知識點有哪些
1、雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。雙曲線的幾何性質分為兩大類。位置關系：中心是兩焦點，兩頂點的中點：焦點在實軸上；實軸與虛軸垂直；雙曲線有兩條過中心的漸近線；准線與實軸垂直等等。
2、雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。在數學中，雙曲線（多重雙曲線或雙曲線）是位於平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義。雙曲線有兩片，稱為連接的組件或分支，它們是彼此的鏡像，類似於兩個無限弓。雙曲線是由平面和雙錐相交形成的三種圓錐截面之一。（其他圓錐部分是拋物線和橢圓，圓是橢圓的特殊情況）如果平面與雙錐的兩半相交，但不通過錐體的頂點，則圓錐曲線是雙曲線。
5、雙曲線共享許多橢圓的分析屬性，如偏心度，焦點和方向圖。許多其他數學物體的起源於雙曲線，例如雙曲拋物面（鞍形表面），雙曲面（「垃圾桶」），雙曲線幾何（Lobachevsky的著名的非歐幾里德幾何），雙曲線函數（sinh，cosh，tanh等）和陀螺儀矢量空間（提出用於相對論和量子力學的幾何，不是歐幾里得）。
❿ 雙曲線面積公式是什麼
雙曲線面積面積公式是：S=bcot（θ/2）。一般的，雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個固定的點叫做焦點的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a還叫做雙曲線的實半軸。
雙曲線的基本知識
點為平面內與兩個定點F，F的距離的差的絕對值是常數的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。定點F叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的准線，常數e叫做雙曲線的離心率。雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個固定的點的距離差是常數的點的軌跡。
這個固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a還叫做雙曲線的實半軸。焦點位於貫穿軸上，它們的中間點叫做中心，中心一般位於原點處。雙曲線是位於平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義。