A. 數學符號知識
圓周率「π」的由來
很早以前,人們看出,圓的周長和直經的比是個與圓的大小無關的常數,並稱之為圓周率.1600年,英國威廉.奧托蘭特首先使用π表示圓周率,因為π是希臘之"圓周"的第一個字母,而δ是"直徑"的第一個字母,當δ=1時,圓周率為π.1706年英國的瓊斯首先使用π.1737年歐拉在其著作中使用π.後來被數學家廣泛接受,一直沒用至今.
π是一個非常重要的常數.一位德國數學家評論道:"歷史上一個國家所算得的圓周率的准確程度,可以做為衡量這個這家當時數學發展水平的重要標志."古今中外很多數學家都孜孜不倦地尋求過π值的計算方法.
公元前200年間古希臘數學家阿基米德首先從理論上給出π值的正確求法.他用圓外切與內接多邊形的周長從大、小兩個方向上同時逐步逼近圓的周長,巧妙地求得π
會元前150年左右,另一位古希臘數學家托勒密用弦表法(以1 的圓心角所對弦長乘以360再除以圓的直徑)給出了π的近似值3.1416.
公元200年間,我國數學家劉徽提供了求圓周率的科學方法----割圓術,體現了極限觀點.劉徽與阿基米德的方法有所不同,他只取"內接"不取"外切".利用圓面積不等式推出結果,起到了事半功倍的效果.而後,祖沖之在圓周率的計算上取得了世界領先地位,求得"約率" 和"密率" (又稱祖率)得到3.1415926<π<3.1415927.可惜,祖沖之的計算方法後來失傳了.人們推測他用了劉徽的割圓術,但究竟用什麼方法,還是一個謎.
15世紀,伊斯蘭的數學家阿爾.卡西通過分別計算圓內接和外接正3 2 邊形周長,把 π 值推到小數點後16位,打破了祖沖之保持了上千年的記錄.
1579年法國韋達發現了關系式 ...首次擺脫了幾何學的陳舊方法,尋求到了π的解析表達式.
1650年瓦里斯把π表示成元窮乘積的形式
稍後,萊布尼茨發現接著,歐拉證明了這些公式的計算量都很大,盡管形式非常簡單.π值的計算方法的最大突破是找到了它的反正切函數表達式.
1671年,蘇格蘭數學家格列哥里發現了
1706年,英國數學麥欣首先發現 其計算速度遠遠超過方典演算法.
1777年法國數學家蒲豐提出他的著名的投針問題.依靠它,可以用概率方法得到 的過似值.假定在平面上畫一組距離為 的平行線,向此平面任意投一長度為 的針,若投針次數為 ,針馬平行線中任意一條相交的次數為 ,則有 ,很多人做過實驗,1901年,有人投針3408次得出π3.1415926,如果取 ,則該式化簡為
1794年勒讓德證明了π是無理數,即不可能用兩個整數的比表示.
1882年,德國數學家林曼德證明了π是超越數,即不可能是一個整系數代數方程的根.
本世紀50年代以後,圓周率π的計算開始藉助於電子計算機,從而出現了新的突破.目前有人宣稱已經把π計算到了億位甚至十億位以上的有效數字.
人們試圖從統計上獲悉π的各位數字是否有某種規律.競爭還在繼續,正如有人所說,數學家探索中的進程也像π這個數一樣:永不循環,無止無休……
B. 怎樣理解圖標在數學教學中的作用
小學數學教科書和配套練冊的最大特點之一，就是課本中附有大量 的圖標。以四年級上冊書為例，全書(含配練冊)共有各種各樣的圖標200 多幅，這些形象、具體、直觀的示意圖、照片和圖表，形式多樣，生動活 潑，與文字配合達到了圖文解義，直觀對比的效果。這些圖標具有典型性、 啟發性和趣味性，是教材內容由軸象變為具體;寓知識方法，情感和價值 觀於形象之中，突出了簡明、易懂、好解的特點。書中每頁都有圖標，這 么多的圖標不僅是教學內容的補充和完善，而且還蘊藏著豐富的教學資 源。那麼，怎樣理解和應用圖標的作用呢?
1 圖標是數學教材有機的重要組成部分 圖標與文字，數字與符號，解題方法與引領提示是教材內容不可分割 的組成部分。在數學教學中，圖標能形象生動的說明文字內容所構建的數 學圖影，展示所包含的數學知識、解題技巧，理解思路，使復雜的問題清 晰明了，簡單易學。不僅能顯明的激發學生學習興趣，而且使科學的思維 方法，解題過程躍然書中，直觀性、模仿性尤為突現。小學數學把知識交 流與知識的應用傳遞並舉，各種圖(表)標緊密聯系實際，聯系現實生活， 既能使學生從中認識到所學知識的重要性，又能潛移默化地培養學生學會 應用知識的習慣。
2 圖標可以激發學生學習數學的興趣 教材中有不少圖標採用了學生喜聞樂見的圖片、漫畫等形式，用不同 的圖標啟發學生互動學習、主動思考;引導學生發現問題、提出問題;教 給學生解決問題的方法和步驟。
例如:教材「『確定位置(二)』:國慶節， 笑笑到動物園參觀了猴山、熊貓館、大象館和鹿苑。你能說出熊貓館、大 象館和鹿苑分別在猴山的什麼位置嗎?」學生看到小猴的機靈，小鹿的可 愛，大象的憨態，熊貓的滑稽無不感到好奇，這種好奇心很快就能把學生 吸引到探究問題情境中。像這種類型的圖標，每個章節都出現在首位，它 不僅為導入新課開篇引路，為解決問題創設條件，還為達到教學目標突出 主題。教學時只要能准確地把握這類教材內容，並較好的應用於教學中， 將會極大的提高小學生學習數學的效率。
3 圖標可以彌補學生自學求知教學條件的不足 教學中指導學生看圖、讀圖、分析圖標，能很好的幫助學生加深數學 概念、數學變化規律的理解。如:路程、時間與速度。通過教學儀器演示 運動的過程，學生觀察，識記只是瞬間完成，反應慢的學生，一時不能理 清思緒、識記應用，但在課後的練習中再通過看圖標就能把動態的演示與 靜態的圖標結合起來，進一步理解數據的嚴密性，感悟其方法，應用其規 律，從而彌補數感的缺失。
4 圖標可以加強對學生能力的培養和數學知識的應用 小學數學大綱要求培養學生初步觀察、分析、概括能力:又能增強學 生理解知識、應用圖標解題的能力，從而也較好地擴大了學生的視野。如: 在教學方向與位置(一)時，利用教室直觀、形象、具體的方點陣圖標和教 材中「試一試」、「練一練」中的地圖和平面圖等，通過遷引實地、應用這 類圖標進行教學，可有效提高學生對數學知識的應用能力。
5 利用圖標進行情感教育，培養學生熱愛生活，學會生活的優秀品質 教材中有大量地生活圖標，教學中恰當的應用這些圖標進行情感教 育，是非常生動、活潑和有效的。如:四年級數學上冊第五章除法「買文 具」、「秋遊」和練習七第3 題「買獎品」三幅圖反映的都是生活實際片段， 介紹的都是怎樣花錢，怎樣少花錢的實例，可較好地激發學生熱愛生活， 學會生活的信心，既能增強學生在生活中求知的情感，又培養了學生在校 園生活和社會生活中的優越感和責任感。
總之，數學教學中應用圖標進行教學，是實施高效課堂，提高教學效 果，培養自學能力的有效方法。在教學中，教師一定要把圖標作為教學的 重要環節，使之能夠在教學的踐行中發揮其更大的作用。
C. 初一下知識點歸納【數學】
1,有理數
(1)正數與負數
(2)數軸
(3)相反數
(4)絕對值
(5)有理數的大小比較
(6)有理數的運算(加,減,乘,除,乘方及其混合運算)
(7)近似數與有效數字
(8)零指數冪及負整指數冪;科學計數法
閱讀材料:(1)光年與納米; (2)10003與31000
2,數的開方
(1)平方根與立方根
(2)二次根式
(3)實數與數軸
3,整式及其運算
(1)列代數式,代數式的值
閱讀材料:有趣的"3x+1問題"
(2)整式:單項式,多項式
(3)整式的加減:①同類項;②合並同類項;③去括弧與添括弧;④整式的加減運算
閱讀材料:(1)用分離系數法進行整式的加減運算;(2)供應站的最佳位置在哪裡
(4)整式的乘法:①冪的運算:同底數冪的乘法,冪的乘方,積的乘方;②整式的乘法:單項式乘以單項式,單項式乘以多項式,多項式乘以多項式;③乘法公式:平方差公式,完全平方公式
(5)因式分解:提公因式法,公式法
閱讀材料:(1)賈憲三角;(2)你會讀嗎
課題學習:面積與代數恆等式
(6)整式的除法:同底數冪的除法,單項式除以單項式
4,分式
(1)分式的概念
(2)分式的基本性質
(3)分式的運算:分式的乘除法,分式的加減法
5,方程
(1)一元一次方程:①一元一次方程的概念;②一元一次方程的解法 ;③可化為一元一次方程的分式方程
閱讀材料:(1)丟番圖的墓誌銘;(2)2=3
(2)二元一次方程組:①二元一次方程組的概念;②二元一次方程組的解法
閱讀材料:雞兔同籠
(3)一元二次方程:①一元二次方程的概念;②一元二次方程的解法 ;③一元二次方程根的判別式;一元二次方程的根與系數之間的關系
(4)實踐與探索(應用)
6,一元一次不等式
(1)不等式的認識
(2)解一元一次不等式
(3)一元一次不等式組及其解法
(4)一元一次不等式的應用
7,函數與其圖像
(1)變數與函數
(2)一次函數的概念,圖像及其性質
(3)反比例函數的概念,圖像及其性質
(4)二次函數的概念,圖像及其性質
(5)實踐與探索
閱讀材料:生活中的拋物線
華師版初中數學知識內容概況知識點(2)
《空間與圖形》部分
1,圖形的初步認識
(1)生活中的立體圖形
閱讀材料:歐拉公式
(2)畫立體圖形:①由立體圖形到視圖;②由視圖到立體圖形
(3)立體圖形的表面展開圖
(4)平面圖形
閱讀材料:七巧板
(5)最基本的圖形:點和線 ①點和線;②線段的長短比較
(6)角: ①角的比較和運算;②角的特殊關系
(7)相交線:①垂線;②相交線中的角
(8)平行線:①平行線的識別;②平行線的特徵
2,多邊形
(1)三角形
(2)三角形的內角和,三角形的外角和
(3)瓷磚的鋪設
(4)用正多邊形拼地板
閱讀材料:多姿多彩的圖案
課題學習:圖形的鑲嵌
3,圖形的變換
(1)平移:①圖形的平移;②圖形的特徵
(2)旋轉:①圖形的旋轉;②旋轉的特徵;③旋轉對稱圖形;④中心對稱圖形
(3)軸對稱:①生活中的軸對稱;②軸對稱的認識;③等腰三角形
閱讀材料:(1)剪五角星;(2)對稱拼圖游戲;(3)Times and dates
(4)位似變換:①圖形的放大與縮小;②畫相似圖形
4,命題與證明
(1)定義,命題與定理
(2)證明及其再認識
5,圖形的全等
(1)圖形的全等
(2)全等三角形的識別及其性質
(3)尺規作圖:①畫線段;②畫角;③畫線段;④畫角平分線
6,圖形的相似
(1)相似的圖形及其特徵
(2)相似三角形:①相似三角形的識別;②相似三角形的特徵
(3)圖形與坐標
7,解三角形
(1)測量
(2)勾股定理
(3)銳角三角函數
(4)解直角三角形
8,平行四邊形
(1)平行四邊形:①平行四邊形的概念;②平行四邊形的識別;③平行四邊形的特徵
(2)矩形:①矩形的概念;②矩形的識別;③矩形的特徵
(3)菱形:①菱形的概念;②菱形的識別;③菱形的特徵
(4)正方形:①正方形的概念;②正方形的識別;③正方形的特徵
閱讀材料:四邊形的變身術
課題學習:中點四邊形
9,圓
(1)圓的基本元素
(2)圓的對稱性
(3)圓周角
(4)與圓有關的位置關系:①點和圓的位置關系;②直線和圓的位置關系;③圓和圓的位置關系
(5)圓中的有關計算問題:①弧長和扇形的面積;②圓錐的側面積和全面積
華師版初中數學知識內容概況知識點(3)
《概率與統計》部分
1,統計
(1)數據的收集
(2)數據的表示:①統計圖表;②這樣節省圖的篇幅合適嗎
閱讀材料:贏在哪裡
(3)統計的意義:①人口普查和抽樣調查;②從部分看全體
(4)平均數,中位數和眾數(用計算器計算平均數)
(5)平均數,中位數和眾數的使用(警惕平均數的誤用)
閱讀材料:"均貧富"
(6)數據的整理與初步處理:①選擇合適的圖表進行數據整理;②極差,方差與標准差
(7)簡單的隨機抽樣:①簡單隨機抽樣;②這樣抽樣合適嗎
閱讀材料:空氣污染指數
(8)用樣本估計總體:①抽樣調查可靠嗎 ②用樣本估計總體
(9)數據的分析與決策:①查詢數據作決策;②全面分析媒體信息;③親自調查作決策;這樣問好嗎;怎樣整理數據好
閱讀材料:漫談收視率
2,概率
(1)可能還是確定:①什麼是可能;②不太可能是不可能嗎
(2)機會的均等與不等:①確定與不確定;②成功與失敗;③游戲的公平與不公平
閱讀材料:攪勻對保證公平很重要
(3)在實驗中尋找規律
(4)用頻率估計機會的大小:①針尖觸地的機會;②數字之積為奇數與偶數的機會
閱讀材料:電腦鍵盤上的字母為何不按順序排列
(5)模擬實驗:①用替代物模擬實驗;②用計算器模擬實驗
課題學習:紅燈與綠燈
(6)機會的大小比較
(7)概率的含義
(8)概率的預測
(9)在理論指導下決策:①考慮不同的權重;②平均要買幾個才能得獎;③考試分數說明了什麼
閱讀材料:標准分
華師版初中數學知識內容概況知識點(4)
《課題學習》部分
七年級:
1,身份證號碼與學籍號
2,圖標的收集與探討
3,圖形的鑲嵌
4,心率與年齡
八年級:
5,面積與代數恆等式
6,紅燈與綠燈
7,高度的測量
8,通訊錄的設計
九年級:
9,圖形中的趣題
10,我們重視健康嗎
11,中點四邊形
12,改進我們的課桌椅
華師版初中數學知識內容概況
公式和法則
一,數的有關概念和運算
1,正數都大於零,負數都小於零,正數大於負數.
2,零的相反數是零
3,一個正數的絕對值是它本身;零的絕對值是零; 一個負數的絕對值是它的相反數.
4,兩個負數,絕對值大的反而小.
5,有理數的運算:
(1)有理數的加法法則:同號兩數相加,取相同的符號,並把絕對值相加;絕對值不等的異號兩數相加,取絕對值較大加數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值;互為相反數的兩個數相加得零;一個數同零相加,仍得這個數.
(2)有理數減法法則:減去一個數,等於加上這個數的相反數.
(3)有理數乘法法則:兩數相乘,同號得正,異號得負,並把絕對植相乘.任何數同零相乘,都得零.
不等於零的數相乘,積的符號由負因數的個數決定,當負因數有奇數個時,積為負;當負因數有偶數個時,積為正. 幾個數相乘,有一個因數為零,積就為零.
(4)有理數除法則:除以一個數等於乘上這個數的倒數. (注意:0不能作除數.)
有理數除法符號法則:兩數相除,同號得正,異號得負,並把絕對值相除. 零除以任何一個不等於零的數,都得零.
(5)有理數乘方法則:正數的任何次冪都是正數;負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪是正數.
(6)有理數混合運算的運算順序規定如下:① 先算乘方,再算乘除,最後算加減;②同級運算,按照從左至右的順序進行;③如果有括弧,就先算小括弧里的,再算中括弧里的,最後算大括弧里的.
6,(1)加法交換律:a+b=b+a;加法結合律:a+b+c=a+(b+c);乘法交換律:a·b=b·a;乘法結合律:abc=a(bc);乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.
(2)冪的運算:am·an=am+n(m,n為正整數);(m,n為正整數);(n為正整數);(m,n為正整數,m>n,a≠0),a0=1(a≠0);(a≠0,n為正整數).
(3)乘法公式:平方差公式:;完全平方公式:=
二,式的有關概念和運算
1,合並同類項的法則:把同類項的系數相加,所得的結果作為系數,字母和字母的指數保持不變.
2,去括弧法則:括弧前面是"+"號,把括弧和它前面的"+"號去掉,括弧里各項都不變符號;括弧前面是"-"號,把括弧和它前面的"-"號去掉,括弧里各項都改變符號.
3,添括弧法則:所添括弧前面是"+"號,括到括弧里的各項都不變符號;所添括弧前面是"-"號,括到括弧里的各項都改變符號.
4,整式加減的一般步驟可以總結為: (1) 如果有括弧,那麼先去括弧;(2) 如果有同類項,再合並同類項.
5,二次根式的運算:;()
三,方程
用方程(組)解決實際問題的過程:問題方程(組)解答
一元二次方程的求根公式:()
四,不等式的性質
如果a>b,那麼a+c>b+c,a-c>b-c;
2,如果a>b,且c>0,那麼ac>bc;如果a>b,且c<0,那麼ac五,銳角三角函數
如果a,b,c分別是△ABC的∠A,∠B,∠C的對邊,
那麼,,,.
六,弧長和扇形面積的計算:如果弧長為l,圓心角度數為n,圓的半徑為r,扇形的面積為S,則,.
華師版初中數學知識內容概況
公理和定理
一,線與角
1,兩點之間,線段最短.
2,經過兩點有一條直線,並且只有一條直線
3,對頂角相等
4,經過直線外或直線上一點,有且只有一條直線與已知直線垂直.
5,(1)經過已知直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行.
(2)如果兩條直線都和第三條直線平行,那麼這兩條直線也平行.
6,平行線的判定:
(1)同位角相等,兩直線平行;
(2)內錯角相等,兩直線平行;
(3)同旁內角互補,兩直線平行.
7,平行線的特徵:
(1)兩直線平行,同位角相等.
(2)兩直線平行,內錯角相等.
(3)兩直線平行,同旁內角互補.
8,角平分線的性質:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
角平分線的判定:到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
9,線段垂直平分線的性質:線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等.
線段垂直平分線的判定:到一條線段的兩個端點的距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.
二,三角形,多邊形
10,三角形中的有關公理,定理:
(1)三角形外角的性質:①三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和;②三角形的一個外角大於任何一個與它不相鄰的內角;③三角形的外角和等於360°.
(2)三角形內角和定理:三角形的內角和等於180°.
(3)三角形的任何兩邊的和大於第三邊
(4)三角形中位線定理: 三角形的中位線平行於第三邊,並且等於第三邊的一半.
11,多邊形中的有關公理,定理:
(1)多邊形的內角和定理:n邊形的內角和等於( n-2)×180°.
(2)多邊形的外角和定理:任意多邊形的外角和都為360°.
(3)歐拉公式:頂點數 + 面數-棱數=2.
12,如果圖形關於某一直線對稱,那麼連結對應點的線段被對稱軸垂直平分.
13,等腰三角形中的有關公理,定理:
(1)等腰三角形的兩個底角相等.(簡寫成"等邊對等角")
(2)如果一個三角形有兩個角相等,那麼這兩個角所對的邊也相等.(簡寫成"等角對等邊")
(3)等腰三角形的"三線合一"定理:等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線和底邊上的高互相重合,簡稱"三線合一".
(4)等邊三角形的各個內角都相等,並且每一個內角都等於60°.
14,直角三角形的有關公理,定理:
(1)直角三角形的兩個銳角互余;
(2)勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方;
(3)勾股定理逆定理:如果一個三角形的一條邊的平方等於另外兩條邊的平方和,那麼這個三角形是直角三角形.
(4)直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.
(5)在直角三角形中,如果一個銳角等於30°,那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半.
三,特殊四邊形
15,平行四邊形的性質:
(1)平行四邊形的對邊平行且相等;
(2)平行四邊形的對角相等;
(3)平行四邊形的對角線互相平分.
16,平行四邊形的判定:
(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;
(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;
(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;
(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
17,平行線之間的距離處處相等.
18,矩形的性質:
(1)矩形的四個角都是直角;
(2)矩形的對角線相等且互相平分.
19,矩形的判定:有三個角是直角的四邊形是矩形.
20,菱形的性質:
(1)菱形的四條邊都相等;
(2)菱形的對角線互相垂直平分,並且每一條對角線平分一組對角.
21,菱形的判定:四條邊相等的四邊形是菱形.
22,正方形的性質:
(1)正方形的四個角都是直角;
(2)正方形的四條邊都相等;
(3)正方形的兩條對角線相等,且互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角.
23,正方形的判定:
(1)有一個角是直角的菱形是正方形;
(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
24,等腰梯形的判定:
(1)同一條底邊上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形;
(2)兩條對角線相等的梯形是等腰梯形.
25,等腰梯形的性質:
(1)等腰梯形的同一條底邊上的兩個內角相等;
(2)等腰梯形的兩條對角線相等.
26,梯形的中位線平行於梯形的兩底邊,並且等於兩底和的一半.
四,相似形與全等形
27,相似多邊形的性質:
(1)相似多邊形的對應邊成比例;
(2)相似多邊形的對應角相等;
(3)相似多邊形的面積比等於相似比的平方.
28,相似三角形的判定:
(1)如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等,那麼這兩個三角形相似;
(2)如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例,並且夾角相等,那麼這兩個三角形相似;
(3)如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例,那麼這兩個三角形相似.
29,全等多邊形的對應邊,對應角分別相等.
30,全等三角形的判定:
(1)如果兩個三角形的三條邊分別對應相等,那麼這兩個三角形全等(S.S.S.).
(2)如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應相等,那麼這兩個三角形全等.(S.A.S.)
(3)如果兩個三角形的兩個角及其夾邊分別對應相等,那麼這兩個三角形全等(A.S.A.).
(4)有兩個角及其中一個角的對邊分別對應相等的兩個三角形全等(A.A.S.)
(5)如果兩個直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對應相等,那麼這兩個直角三角形全等.(H.L.)
五,圓
31,(1)半圓或直徑所對的圓周角都相等,都等於90°(直角);(2)90°的圓周角所對的弦是圓的直徑.
32,在同一圓內,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等於該弧所對的圓心角的一半; 相等的圓周角所對的弧相等.
33,不在同一條直線上的三個點確定一個圓.
34,經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線.
35,從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.
數學思想與解題
夏建平
數學思想在解題過程中是帶有方向性,規律性的指導思想,在解決數學問題中往往有統領全局的作用. 下面以一個平面幾何題為例談一些認識.
題目:如圖1,AB,AC,AP是⊙O的三條弦,且∠BAP=∠CAP=60°,已知AP=1,求AB+AC的值.
解題前滲透特殊化思想
特殊和一般是矛盾著的兩個方面,又統一在同一事物之中,由於特殊問題常常比較具體,且特殊問題的解決孕育著一般問題的解決.因此,特殊化是一種常用的解題思想和探索解題途徑的重要方法.
要想求出"AB+AC"的值,可先猜測其值到底是多少,不妨取符合題意的特殊圖形進行考察.當AP為過圓心O的一條特殊弦(即直徑)時,可得特殊圖形圖2,連結OB,OC,易知△OAB與△AOC均為等邊三角形,此時OA=AP=,所以AB+AC=+=1.
假如本題是一個填空題或選擇題時,由於不需要寫出解題過程,運用特殊化思想來解就很簡單了.
解題中滲透整體思想
整體思想就是將問題看成一個完整的整體,注重問題的整體結構和結構改造的思維過程.對於有些數學題,若只注意它的某些孤立的個體,則較難解決,相反,先不考慮其細節,而從整體上入手,利用整體效應,反而能使問題清晰明了,使解題者直奔終點.
由解題前的猜測得"AB+AC"的值為1,再結合題意發現當AP繞點A運動時,AB與AC的值也隨之變化,所以單獨求出AB與AC的值後再求和不太可能,也就是說只能把"AB+AC"看作一個整體來處理,注意到∠BAP與∠CAP均為60°,不妨構造特殊的直角三角形來解題:連結PB,PC,過P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別為D,E(見圖3),Rt△ADP中,有AD=AP=,Rt△AEP中,有AE=AP=;由三角形全等的識別方法"角角邊推論"得△BDP≌△CEP,從而BD=CE,所以AB+AC=(AD-BD)+(AE+EC)=AD+AE=1.
解題後滲透化歸思想
化歸思想是指解決問題時,將原問題進行變型,由難變易,由繁變簡,由未知變已知,最終歸結為我們熟悉的,或易於解決或已解決的問題.解題結束後求出"AB+AC"的值為1後,再看一下已知條件,發現AP的值也為1,這里給我們一個信息,"AB+AC=AP"是否成立呢 能否把該題轉化為一個比較熟悉的問題來處理呢 即證明"AB+AC=AP".於是便又有了"截長","補短"的兩種解法.
"截長"法:在AP上截取AD=AC,連結BC,DC,PC(見圖4),先證△ADC為等邊三角形,後證△ABC≌△DPC(A.A.S.),從而AB=DP,所以,AB+AC=AD+DP=AP=1.
"補短" 法:延長CA到D,使AD=AB,連結BD,BP,BC(見圖5),先證△ADB為等邊三角形,後證△ABP≌△DBC,從而DC=AP,所以,AB+AC=AD+AC=DC=AP=1.
D. 四年級數學知識要點
總：一、億以內數的認識1.一(個),十,百、千、萬……億都是計數單位.2.每相鄰兩個計數單位之間有什麼關系?每相鄰兩個計數單位的進率都是「10」.3.求近似數的方法叫「四捨五入」法.4.是「舍」還是「入」要看省略的尾數部分的最高位數是小於5還是大於5.5.表示物體個數的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,……都是自然數.一個物體也沒有用0表示.0也是自然數.6.最小的自然數是0,沒有最大的自然數,自然數的個數是無限的.7.每相鄰的兩個計數單位之間的進率都是十,這種計數方法叫做十進制計數法.二、角的度量 1.像手電筒簡、汽車燈和太陽等射出來的光線,都可以近似地看成是射線.射線只有一個端點,可以向一端無限延伸.2.直線沒有端點、可以向兩端無限延伸.3.直線、射錢與線段有什麼聯系和區別?聯系：射線、線段都是直線的一部分,線段是直線的有限部分.區別：直線無端點,長度無限,向兩方無限延伸,射線只有一個端點,長度無限,向一方無限延伸,線段有兩個端點,長度有限.4.直線和射線都可以無限延伸.線段可以量出長度.5.從一點引出兩條直線所組成的圖形叫做角.6.角的計量單位是「度」,用符號號「°」表示.把半圓分成180等份,每一份所對的角的大小是1度,記作1°.7.銳角、鈍角、直角,平角和周角之間有什麼關系?直角=90度,鈍角大於直角小於平角,平角=180度,周角=360度,銳角小於90度。
單元概括：
第一單元 億以上數的認識 姓名：
一、億以內數的讀法：○1先讀萬級，再讀個級。○2萬級的數，要按照個級的讀法來讀，再在後面加一個「萬」字。○3每級末尾不管有幾個0都不讀；中間有一個或連續幾個0都只讀一個零。 二、億以內數的寫法：○1先寫萬級，再寫個級。○2哪一個數位上一個單位
也沒有，就在哪一位上寫0。○
3一定要先分級再來讀數或寫數。 三、比較數的大小的方法：○1位數不同時，位數多的數大。○2位數相同時，從最高位比起，哪個數最高位上的數大，這個數就大；如果最高位上的數字相同，就比較下一位上的數字，直到比較出大小為止。
四、整萬數改寫成用「萬」作單位的數的方法；將萬位後面的4個0省略，換成一個「萬」字。
五、用「四捨五入」法求近似數的方法：求一個數的近似數，主要是看它的省略的尾數，如果省略的尾數最高位上的數是0、1、2、3、4，就把尾數都捨去，改寫成「0」，如果省略的尾數最高位上的數是5、6、7、8、9，就把尾數省略，並向前一位進1。
六、用「四捨五入」法求近似數的關鍵：找准尾數的最高位，如果省略萬位後面的尾數，就看千位；如果省略千位後面的尾數，就看百位；如果省略百位後面的尾數，就看十位„„
七、表示物體個數的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9„„都是自然數，0是最小的自然數。沒有最大的自然數，自然數的個數是無限的。
八、每相鄰兩個計數單位之間的進率是十，這種計數法叫做十進制計數法。 九、億以上數的讀法與億以內數讀法相同：先分級，從最高位讀起，一級一級往下讀，讀億級時按照個級讀法來讀，再在後面加一個「億」字。
十、億以上數的寫法與億以內的寫法相同：先分級，從最高位寫起，一級一級往下寫，每一級的寫法與個級的寫法一樣。 十一、讀數和寫數關鍵都是「先分級」。
十二、對整億數的改寫：直接省略億位後面的8個0，再加上一個「億」字。 十三、不是整億數的用「四捨五入」法省略億位後面的尾數再改寫：先分級再在尾數最高位「千萬位」上進行「四捨五入」，用「」寫出得數，不要忘記寫「億」字。
十四、算盤上每一檔代表一個數位，記數前先要確定某一檔作個位，向左依次是十位、百位、千位„„。每一檔的上珠代表5，下珠代表1。 十五、電子計算器操作鍵的功能。
符號 名稱 功能 ON/C 開啟鍵 開或消除輸入的內容 OFF 關閉鍵 關閉 CE 消除鍵 只消除上一次剛輸入的內容
第二單元 角的度量
一、直線、射線、線段的聯系和區別
聯 系 區 別 都是直的 端點個數 延長情況 長短
直線 無 可以向兩端無限延長 無
射線 1 可以向一端無限延長 無
線段 2 不能向一端延長 有長短
二、從一點出發可以畫無數條射線，經過一點只能畫無數條直線，經過兩點只能畫一條直線。
三、量角器由中心點,0刻度線，內圈刻度，外圈刻度組成，在量角時注意：(1)量角器的中心點與角的頂點重合.(2)使量角器的內面0刻度(外面的0刻度)與角的一條邊重合.(3)角的另一邊指向哪,就根據內圈(外圈)刻度讀數.（4）要注意從0刻度讀起，做到「0對內讀內，0對外讀外」。
四、角的大小與角的兩邊長短無關與兩邊叉開的大小有關,角的兩邊叉開越大角就越大.
五、小於900的角叫銳角,大於900而小於1800
的角叫鈍角.
六、1平角1800
=2直角
1周角=3600
=2平角=4直角
七、銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角
八、畫指定度數的角，注意做到兩重合：量角器的中心點與頂點重合；0刻度線與所畫的角的一條邊重合；還要看準度數，「0對內讀內，0對外讀外」所畫的邊對應的0刻度在內圈，就看內圈的刻度。
第三單元 三位數乘兩位數
一、口算整數或整千數乘一位數，都可以先把0前面的數相乘，再在積的末尾添上相應個數的0。
二、三位數乘兩位數的筆算方法，先用兩位數個位上的數去乘三位數，得數的末位與兩位數的個位對齊，再用兩位數十位上的數去乘三位數得數末位和兩位數的十位對齊，然後把兩次乘的結果加起來。
三、因數末尾有0的簡便演算法:先把0前面的數相乘,再看兩個因數末尾一共有幾個0,則在積的末尾添寫幾個0。
四、速度是指單位時間內所走的路程。其表示方法是所行路程/時間單位。如：120千米/時，50米/分，計算方法是用路程÷時間=速度。
五、路程=時間×速度 速度=路程÷時間 時間=路程÷速度
六、積的變化規律：兩數相乘，一個因數不變，另一個因數乘（或除以）幾，積也乘（或除以）幾（0除外）。乘法估算必須符合兩個要求：一是接近准確值（符合實際）；二是計算方便。
七、乘法估算通常情況下是按照「四捨五入」法來估算，即把兩個因數看成是整十、整百或幾百幾十的數；但有時也要根據實際情況來分析，如估錢夠不夠要往大估。
第四單元 平行四邊形和梯形
1、在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線，它們的關系叫做互相平行。如果兩條直線相交成直角,這兩條直線互相平行,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,這兩條直線的交點叫做垂足。
2、平行線的要點有：（1）在同一平面；（2）永不相交；（3）兩條直線。 3、平行線的基本性質：（1）經過直線外一點有並且只有一條直線與已知直線平行。（2）與一條直線距離相等的平行線可以畫兩條，如與已知直線相距5厘米的平行線有上和下各一條。（3）在同一平面內，如果兩條直線與另一條直線平行，哪么這兩條直線也一定互相平行。
4、垂線的基本性質：（1）經過直線外一點，有並且只有一條直線與已知直線平行；（2）從直線外一點到這條直線的所有線段中，與直線垂直的線段最短；（3）在同一平面內，如果兩條直線 與另一條直線垂直，哪么這兩條直線一定互相平行。 5、兩條直線在同一平面內的關系有：（1）平行：不相交的兩條直線；（2）相交：相交成直角就是垂直。
6、用三角板和直尺來畫平行線的方法：○1放三角尺，○2靠直尺，○3沿著直尺邊推三角尺，○4畫平行線。（總結為一放、二靠、三推、四畫）
7、兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。 8、平行四邊形的特徵：（1）兩組對邊平行且相等；（2）四個內角的和等於360度；（3）相對的角相等；（4）相鄰的角互補。梯形的特徵：（1）只有一組對邊平行但不相等；（2）四個內角的和也等於360度；（3）最少有一個銳角和一個鈍角。
9、平行四邊形具有不穩定性，也就是說長方形可以拉成平形四邊形，平行四邊形可以變成長方形。長方形拉成平行四邊形後，周長不變，高變小，面積會變小。 10、平行四邊形和梯形的高都有無數條。
11、平行四邊形和梯形高的畫法，相當於過直線外一點畫已知直線的垂線。梯形的高只能從相互平行的兩條邊中任一邊上的一點向它的對邊畫垂線，而不能在梯形的腰上畫高。 12、從平行四邊形一條邊上的任意一點，到對邊引一條垂線，這點到垂足之間的線段叫做平行四邊形的高,垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。 13、從組合圖形中數平行四邊形或梯形的個數，也要按從小到大的順序來數，先給每個最小的圖標出序號，然後一個個的數，兩個兩個數，再三個三個數„„以此類推。 14、所有的四邊形的內角和都等於360度。三角形的內角和都等於180度。
第五單元 除數是兩位數的除法
16、除數是兩位數的口算除法，可以用想乘法算除法和表內除法計算的方法進行口算。 17、除法估算一般是把算式中不上整十的數用「四捨五入」法估算成整十數，再進行口算。 18、除數是兩位數的除法，要先看被除數的前兩位，如果前兩位不夠商1，就看前三位數，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面，余數一定要比除數小。
19、如果除數是一個接近整十數兩位數，就用「四捨五入」法把除數看作與它接近整十數的兩位數的筆算除法，既可以按照「四捨五入」法試商，也可以把除數看作和它接近的幾十五，再利用一位數乘法直接確定商。
20、判定商是幾位數，先看被除數與除數的前幾位（取決於除數是幾位數）， 如果除數是兩位數，就先看被除數的前兩位。
注意：每一步商的位置要正確，每求出一位商，餘下的數必須比除數小。 21、當除數不變時商與被除數變化正好相同。（0除外） 當被除數不變時，商與除數的變化正好相反。（0除外）
當除數與被除數同時乘（或除以）相同的數時，商不變。 22、總數量=每份數×份數 每份數=總數量÷份數
份數=總數量÷每份數
23、總價=單價×數量 單價=總價÷數量 數量=競價÷單價 24、被除數=商×除數＋余數 商=（被除數－余數）÷除數 除數=（被除數－余數）÷商
25、除數不接近整十數時可看作個位是5的數來試商。
15×2=30 15×3=45 15×4=60 15×5=75 15×6=90 15×7=105 15×8=120 15×9=135
25×2=50 25×3=75 25×4=100 25×5=125
E. 小學數學總結
第一部分:概念
1,加法交換律:兩數相加交換加數的位置,和不變.
2,加法結合律:三個數相加,先把前兩個數相加,或先把後兩個數相加,再同第三個數相加,和不變.
3,乘法交換律:兩數相乘,交換因數的位置,積不變.
4,乘法結合律:三個數相乘,先把前兩個數相乘,或先把後兩個數相乘,再和第三個數相乘,它們的積不變.
5,乘法分配律:兩個數的和同一個數相乘,可以把兩個加數分別同這個數相乘,再把兩個積相加,結果不變.
如:(2+4)×5=2×5+4×5
6,除法的性質:在除法里,被除數和除數同時擴大(或縮小)相同的倍數,商不變.o除以任何不是o的數都得o.
簡便乘法:被乘數,乘數末尾有o的乘法,可以先把o前面的相乘,零不參加運算,有幾個零都落下,添在積的末尾.
7,什麼叫等式等號左邊的數值與等號右邊的數值相等的式子叫做等式.
等式的基本性質:等式兩邊同時乘以(或除以)一個相同的數,等式仍然成立.
8,什麼叫方程式答:含有未知數的等式叫方程式.
9,什麼叫一元一次方程式答:含有一個未知數,並且未知數的次數是一次的等式叫做一元一次方程式.
學會一元一次方程式的例法及計算.即例出代有χ的算式並計算.
10,分數:把單位"1"平均分成若干份,表示這樣的一份或幾分的數,叫做分數.
11,分數的加減法則:同分母的分數相加減,只把分子相加減,分母不變.異分母的分數相加減,先通分,然後再加減.
12,分數大小的比較:同分母的分數相比較,分子大的大,分子小的小.
異分母的分數相比較,先通分然後再比較;若分子相同,分母大的反而小.
13,分數乘整數,用分數的分子和整數相乘的積作分子,分母不變.
14,分數乘分數,用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作為分母.
15,分數除以整數(0除外),等於分數乘以這個整數的倒數.
16,真分數:分子比分母小的分數叫做真分數.
17,假分數:分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫做假分數.假分數大於或等於1.
18,帶分數:把假分數寫成整數和真分數的形式,叫做帶分數.
19,分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘以或除以同一個數
(0除外),分數的大小不變.
20,一個數除以分數,等於這個數乘以分數的倒數.
21,甲數除以乙數(0除外),等於甲數乘以乙數的倒數.
分數的加,減法則:同分母的分數相加減,只把分子相加減,分母不變.異分母的分數相加減,先通分,然後再加減.
分數的乘法則:用分子的積做分子,用分母的積做分母.
22,什麼叫比:兩個數相除就叫做兩個數的比.如:2÷5或3:6或1/3
比的前項和後項同時乘以或除以一個相同的數(0除外),比值不變.
23,什麼叫比例:表示兩個比相等的式子叫做比例.如3:6=9:18
24,比例的基本性質:在比例里,兩外項之積等於兩內項之積.
25,解比例:求比例中的未知項,叫做解比例.如3:χ=9:18
26,正比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著化,如果這兩種量中相對應的的比值(也就是商k)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關系就叫做正比例關系.如:y/x=k(k一定)或kx=y
27,反比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關系就叫做反比例關系.如:x×y=k(k一定)或k/x=y
28,百分數:表示一個數是另一個數的百分之幾的數,叫做百分數.百分數也叫做百分率或百分比.
29,把小數化成百分數,只要把小數點向右移動兩位,同時在後面添上百分號.其實,把小數化成百分數,只要把這個小數乘以100%就行了.
30,把百分數化成小數,只要把百分號去掉,同時把小數點向左移動兩位.
31,把分數化成百分數,通常先把分數化成小數(除不盡時,通常保留三位小數),再把小數化成百分數.其實,把分數化成百分數,要先把分數化成小數後,再乘以100%就行了.
32,把百分數化成分數,先把百分數改寫成分數,能約分的要約成最簡分數.
33,要學會把小數化成分數和把分數化成小數的化發.
34,最大公約數:幾個數都能被同一個數一次性整除,這個數就叫做這幾個數的最大公約數.(或幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數.其中最大的一個,叫做最大公約數.)
35,互質數:公約數只有1的兩個數,叫做互質數.
36,最小公倍數:幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個叫做這幾個數的最小公倍數.
37,通分:把異分母分數的分別化成和原來分數相等的同分母的分數,叫做通分.(通分用最小公倍數)
38,約分:把一個分數化成同它相等,但分子,分母都比較小的分數,叫做約分.(約分用最大公約數)
39,最簡分數:分子,分母是互質數的分數,叫做最簡分數.
40,分數計算到最後,得數必須化成最簡分數.
41,個位上是0,2,4,6,8的數,都能被2整除,即能用2進行
42,約分.個位上是0或者5的數,都能被5整除,即能用5進行約分.在約分時應注意利用.
43,偶數和奇數:能被2整除的數叫做偶數.不能被2整除的數叫做奇數.
44,質數(素數):一個數,如果只有1和它本身兩個約數,這樣的數叫做質數(或素數).
45,合數:一個數,如果除了1和它本身還有別的約數,這樣的數叫做合數.1不是質數,也不是合數.
46,利息=本金×利率×時間(時間一般以年或月為單位,應與利率的單位相對應)
47,利率:利息與本金的比值叫做利率.一年的利息與本金的比值叫做年利率.一月的利息與本金的比值叫做月利率.
48,自然數:用來表示物體個數的整數,叫做自然數.0也是自然數.
49,循環小數:一個小數,從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字依次不斷的重復出現,這樣的小數叫做循環小數.如3.141414
50,不循環小數:一個小數,從小數部分起,沒有一個數字或幾個數字依次不斷的重復出現,這樣的小數叫做不循環小數.如圓周率:3.141592654
51,無限不循環小數:一個小數,從小數部分起到無限位數,沒有一個數字或幾個數字依次不斷的重復出現,這樣的小數叫做無限不循環小數.如3.141592654……
52,什麼叫代數代數就是用字母代替數.
53,什麼叫代數式用字母表示的式子叫做代數式.如:3x=ab+c
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第二部分:定義定理
一,算術方面
1.加法交換律:兩數相加交換加數的位置,和不變.
2.加法結合律:三個數相加,先把前兩個數相加,或先把後兩個數相加,再同第
三個數相加,和不變.
3.乘法交換律:兩數相乘,交換因數的位置,積不變.
4.乘法結合律:三個數相乘,先把前兩個數相乘,或先把後兩個數相乘,再和第三個數相乘,它們的積不變.
5.乘法分配律:兩個數的和同一個數相乘,可以把兩個加數分別同這個數相乘,再把兩個積相加,結果不變.如:(2+4)×5=2×5+4×5.
6.除法的性質:在除法里,被除數和除數同時擴大(或縮小)相同的倍數,商不變.0除以任何不是0的數都得0.
7.等式:等號左邊的數值與等號右邊的數值相等的式子叫做等式.
等式的基本性質:等式兩邊同時乘以(或除以)一個相同的數,等式仍然成立.
8.方程式:含有未知數的等式叫方程式.
9.一元一次方程式:含有一個未知數,並且未知數的次數是一次的等式叫做一元一次方程式.
學會一元一次方程式的例法及計算.即例出代有χ的算式並計算.
10.分數:把單位"1"平均分成若干份,表示這樣的一份或幾分的數,叫做分數.
11.分數的加減法則:同分母的分數相加減,只把分子相加減,分母不變.異分母的分數相加減,先通分,然後再加減.
12.分數大小的比較:同分母的分數相比較,分子大的大,分子小的小.
異分母的分數相比較,先通分然後再比較;若分子相同,分母大的反而小.
13.分數乘整數,用分數的分子和整數相乘的積作分子,分母不變.
14.分數乘分數,用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作為分母.
15.分數除以整數(0除外),等於分數乘以這個整數的倒數.
16.真分數:分子比分母小的分數叫做真分數.
17.假分數:分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫做假分數.假分數大於或等於1.
18.帶分數:把假分數寫成整數和真分數的形式,叫做帶分數.
19.分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘以或除以同一個數(0除外),分數的大小不變.
20.一個數除以分數,等於這個數乘以分數的倒數.
21.甲數除以乙數(0除外),等於甲數乘以乙數的倒數.
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第三部分:幾何體
1.正方形
正方形的周長=邊長×4公式:c=4a
正方形的面積=邊長×邊長公式:s=a×a
正方體的體積=邊長×邊長×邊長公式:v=a×a×a
2.正方形
長方形的周長=(長+寬)×2公式:c=(a+b)×2
長方形的面積=長×寬公式:s=a×b
長方體的體積=長×寬×高公式:v=a×b×h
3.三角形
三角形的面積=底×高÷2.公式:s=a×h÷2
4.平行四邊形
平行四邊形的面積=底×高公式:s=a×h
5.梯形
梯形的面積=(上底+下底)×高÷2公式:s=(a+b)h÷2
6.圓
直徑=半徑×2公式:d=2r
半徑=直徑÷2公式:r=d÷2
圓的周長=圓周率×直徑公式:c=πd=2πr
圓的面積=半徑×半徑×π公式:s=πrr
7.圓柱
圓柱的側面積=底面的周長×高.公式:s=ch=πdh=2πrh
圓柱的表面積=底面的周長×高+兩頭的圓的面積.公式:s=ch+2s=ch+2πr2
圓柱的總體積=底面積×高.公式:v=sh
8.圓錐
圓錐的總體積=底面積×高×1/3公式:v=1/3sh
三角形內角和=180度.
平行線:同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線
垂直:兩條直線相交成直角,像這樣的兩條直線,
我們就說這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,這兩條直線的交點叫做垂足.
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第四部分:計算公式
數量關系式:
1,每份數×份數=總數總數÷每份數=份數總數÷份數=每份數
2,1倍數×倍數=幾倍數幾倍數÷1倍數=倍數幾倍數÷倍數=1倍數
3,速度×時間=路程路程÷速度=時間路程÷時間=速度
4,單價×數量=總價總價÷單價=數量總價÷數量=單價
5,工作效率×工作時間=工作總量工作總量÷工作效率=工作時間工作總量÷工作時間=工作效率
6,加數+加數=和和-一個加數=另一個加數
7,被減數-減數=差被減數-差=減數差+減數=被減數
8,因數×因數=積積÷一個因數=另一個因數
9,被除數÷除數=商被除數÷商=除數商×除數=被除數
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和差問題的公式
(和+差)÷2=大數
(和-差)÷2=小數
和倍問題
和÷(倍數-1)=小數
小數×倍數=大數
(或者和-小數=大數)
差倍問題
差÷(倍數-1)=小數
小數×倍數=大數
(或小數+差=大數)
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植樹問題:
1非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:
⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那麼:
株數=段數+1=全長÷株距-1
全長=株距×(株數-1)
株距=全長÷(株數-1)
⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那麼:
株數=段數=全長÷株距
全長=株距×株數
株距=全長÷株數
⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那麼:
株數=段數-1=全長÷株距-1
全長=株距×(株數+1)
株距=全長÷(株數+1)
2封閉線路上的植樹問題的數量關系如下
株數=段數=全長÷株距
全長=株距×株數
株距=全長÷株數
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盈虧問題
(盈+虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數
(大盈-小盈)÷兩次分配量之差=參加分配的份數
(大虧-小虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數
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相遇問題
相遇路程=速度和×相遇時間
相遇時間=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇時間
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追及問題
追及距離=速度差×追及時間
追及時間=追及距離÷速度差
速度差=追及距離÷追及時間
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流水問題
順流速度=靜水速度+水流速度
逆流速度=靜水速度-水流速度
靜水速度=(順流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(順流速度-逆流速度)÷2
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濃度問題:
溶質的重量+溶劑的重量=溶液的重量
溶質的重量÷溶液的重量×100%=濃度
溶液的重量×濃度=溶質的重量
溶質的重量÷濃度=溶液的重量
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利潤與折扣問題:
利潤=售出價-成本
利潤率=利潤÷成本×100%=(售出價÷成本-1)×100%
漲跌金額=本金×漲跌百分比
折扣=實際售價÷原售價×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×時間
稅後利息=本金×利率×時間×(1-20%)
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面積,體積換算
(1)1公里=1千米1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米
(2)1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
(3)1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米
(4)1公頃=10000平方米1畝=666.666平方米
(5)1升=1立方分米=1000毫升1毫升=1立方厘米
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重量換算:
1噸=1000千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
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人民幣單位換算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
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時間單位換算:
1世紀=100年1年=12月
大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天,閏年2月29天
平年全年365天,閏年全年366天
1日=24小時1時=60分
1分=60秒1時=3600秒
F. 八年級上冊小結並串聯第1~3章主要數學知識和解題思想方法並製作思維導圖
摘要 如何繪制八年級上冊數學思維導圖
G. 數學，中位數是什麼、
中位數是指分配數列中各單位的標志值按大小順序排列，位於中間位置的標志值。也就是說，中位數是位於標志值數列中心位置的那個標志值。在中位數的上下各有50%的單位數， 可見中位數以處於中心位置的標志值代表現象的一般水平，所以它是一種位置平均數。
中位數的計算，按未分組和已分組數列兩種不同情況而有不同的計算方法。
(一)未分組數列的中位數計算方法
首先要確定中位數在數列中的位置數。不論數列是奇數數列或偶數數列均以確定中位數的位置數。 再以中位數位置數的標志值作為中位數。
例：若有一組數列：21、23、45、46、67、72、83。該數列為奇數，其中位數的位置數為：(位)， 與第四位相應的標志值46，則為中位數。
另有一組數列：23、24、25、25、26、27、27、28、29、55。該數列為偶數，其中位數的位置數為：(位)，即在第五位和第六位的中間，故其相應的標志值為第五位和第六位標志值的平均數， 即26與27的平均數： ，就是該數列的中位數。
(二)已分組數列中位數的計算方法
分組數列有單項式分組和組距分組，因此其計算方法：
①單項式分組數列的計算方法。
首先用公式確定中位數的位置數，並以之確定中位數所在組，該組的標志值即為中位數。例如：某班學生按年齡分組如表5-9。
表5-9 某班學生按年齡分組
按年齡分組
人數（人）
累計次數
17
18
19
20
21
8
19
21
7
3
8
27
48
55
58
合 計
58
--
先計算出中位數位置數(位)， 再確定中位數所在組，中位數的位置數為29.5位。從累計次數上看，應在19歲組，故19歲為中位數。但有人認為，單項式分組計算出來的中位數，不符合中位數的定義，其理由是中位數兩邊的單位不相等。如本例，中位數19歲以下的單位數為27，中位數以上的單位數為10。
②組距數列的計算方法。
例，某班男生體重資料如表5-10。
表5-10 某班男生體重資料
按體重
(千克)分組
人數
(人)
向上累計
向下累計
49～51
51～53
53～55
55～57
57～59
59～61
61～63
4
20
25
38
21
12
6
4
24
49
87
108
120
126
126
122
102
77
39
18
6
先計算中位數位置數：(位)。從向上累計或向下累計，都可以確定中位數所在組為：55～57組，然後按下限公式或上限公式具體計算中位數。
下限公式：
上限公式：
式中符號：--中位數；
--中位數下限；
--中位數上限；
--中位數的次數；
--中位數組以下累計次數；
--中位數組以上累計次數；
--為總次數；
--- 中位數組的組距。
按下限公式計算：
按上限公式計算：
H. 北師大版四年級上冊數學《確定位置》教學設計
《確定位置》教學設計
教學內容：北師大版小學數學四年級上冊80——81頁。
教學目標：
1、能在具體的情境中，探索確定位置的方法，說出某一物體的位置。
2、能在方格紙上用"數對"確定位置。
3、結合生活實際，培養學生的方向感和空間觀念。
教學重點：能按照從左往右、從前往後的順序，用"數對"確定位置。
教具准備：課件組標志、寶盒
學具准備：方格紙，小圖標
設計理念：既尊重教材，又超越教材;既自主探究，又適當講授；既面向全體，又因材施教；既夯實基礎，又培養能力；既關注課內，又適當延伸。
教學過程：
一、創設情境，引入課題。
做游戲：找寶
1、師：「同學們喜歡做游戲嗎？（生：喜歡。）
師：我們今天來玩一個找寶游戲，（請兩名學生，一名把寶盒藏在教室的某一個書桌中，另一名去找）
師在學生找時問：「容易找嗎？（生：不容易）
師：「怎樣能找得快些？（生：要是知道他藏在哪就好了）
2、師：「 那好老師透露給你一條線索；在教室從左往右數的第二組同學的書桌里。
（生馬上去第二組挨座翻看）
師：「現在容易找嗎？（生：還行，快找到了）
師：「你能不能一找就准呢？（生：有點難）
3、師：請同學們再告訴他一條線索，讓他一找就准，
（生：在第5個，學生馬上到第五個座位找到了寶盒）
4、師：「剛才老師和同學們給他提供了准確的信息，這位同學才能很快地確定寶盒的位置，其實確定位置很講究方法的，今天我們就來學習如何確定位置。
（出示課題：確定位置（一））
【設計意圖：探索確定位置需要兩個數據】
二、探究新知，引出數對。
1、說說班長的位置：
師：「剛才提供了兩條信息，才能迅速准確地確定寶盒的位置？（生：2個）
師：「是哪兩條信息？（生：第幾組，第幾個）
師：「用這兩條信息誰能說一說班長的位置？
（生1：我在第3組的第4個座位）
2、引出數對
說的不錯，現在來觀察小青班的座點陣圖。
觀察者是站在老師的位置觀察（從左往右數第一組、第二組等等）
請問：小青的在什麼位置？（第3組第2個）說的非常好！謝謝！
（生在練習本上用數字或符號表示小青的位置。）
可能出現的幾種情況？（ 三，2。 3，2）（3，2）。
剛才我們用一對數（3，2）表示位置，這種方法也叫做用「數對」表示位置，「數對」的表示方法是先表示的方向，後表示縱的方向。通常要在兩個數字外面加上（），中間用「，」隔開。
讀作：數對32
這里的3和2表示什麼意思？（生：第3組，第2個）
學生回答：3是表示第3列，2是表示第2個。
第3組第2個和（3，2）兩種表示方法，哪種更好些？為什麼？
師：說的真好！
3、再來說一說
（1）小敏的座位是（ 2 ， 3 ），小華的座位是（ 4 ， 4 ）。
（2）（1，4）表示的位置是第 組第 個，他是（ ）；
（4，3）表示的位置是第 組第 個，他是（ ）。
（2，3）和（3，2）作比較。再說說（4，4）表示什麼意思？
三、說說自己的位置
你們會用數對表示小青他們的位置了，（課件）
下面也用數對說說本班同學的位置。
1、 說說自己的位置
2、 師：剛才，幾位同學說得都很好，下面請同桌互相用數對說說自己的位置。
3、在方格圖中找位置。
師指一列的同學問：「你們都在第幾列？表示你們位置的數對中都有幾？」
（生：第一列，我們的數對中都有1。）
再請第一行的同學起立，大家說說你們的數對中都有數字幾？為什麼？（生：都在第一行，所以數對中也都有1）
師說：「現在如果把每列的同學看成一條條的縱向的豎線，把每行的同學看成一條條橫線，同學們閉上眼睛想想我班就變成了什麼樣？
生：全是格了。
師出示棋盤問：「像不像這個遍布方格的棋盤。（生：像）
2、在方格圖中標位置
師用手在棋盤下邊和左邊邊指邊說：「如果棋盤這里橫向上的數分別表示第一列、第二列……，縱向上的數分別表示第一行、第二行……，那麼，你能在這張圖中用棋子擺出自己的位置，然後再用數對標出來嗎？（找兩名同學到棋盤上擺一擺，標一標。）
請其他同學們拿出方格圖用圓點標出自己的位置，並在圓點處用數對標明，（師巡視，留意將點標在方格里，和標在交*點上的兩類學生。）
學生展示匯報：
師問擺棋子的學生1：「你能給大家介紹介紹你為什麼把棋子擺在這兒嗎？」
生邊比畫邊介紹：「我的位置是（4，3）我先在底下這排數字中找到4，再到左邊這排數字中找3，把棋子擺在這兩條線的交*點上。」
師：「誰和他的方法一樣請舉手。」（一多半學生舉手）
師：支持率真高啊！
師指生2擺的棋子問：「這位同學擺的對嗎？誰支持他？」（只有兩人舉手）
師：「為什麼支持的同學這么少？」
生：「好象擺錯了。」
師：「為什麼這樣想？」
生：「他擺在格里了，格左面有兩個數字0和1都和棋子挨邊，格下邊的數字1和2也都和棋子挨邊，這樣就看不出他擺的是數對幾和幾了。」
師：「是啊，看來我們要把表示自己位置的點標在橫線和豎線的交*點上。」
再讓剛才擺錯的學生用粉色棋子擺擺自己最要好的一個朋友的位置，讓同學們猜你的朋友是誰？
生剛擺完，同學們就七嘴八舌的答出這個學生的名字。
今天同學們的表現都很好。
四、用數對表示身邊的建築
練一練1
師：數對不但可以表示教室里的位置，生活中還有更廣泛的應用。下面我來考察一下，大家今天學習的怎麼樣。
師：師：這是小青學校附近的地圖，說一說學校在地圖上的什麼位置？用數對表示。
圖中還有哪些建築物在什麼位置？ 用數對表示。
師：指表格中，郵局與銀行、圖書館與公園的數對讓生觀察比較，這三組數對有什麼關系，說明了什麼？
生：郵局、學校、圖書館的數對後一個數都是3，前一個數就不一樣了。
師：再看看他們的位置。
生：位置不一樣，一個比一個往後。
師：「也就是說數對里，雖然後一個數相同，但因為前一個數不同，所以位置也不一樣。」
再指表格中，圖書館與學校的數對讓生觀察比較，這兩組數對有什麼關系，說明了什麼？
生：「這兩個數對的前一個數相同，但後一個數不同，所以位置也不同。」
師：同學們真聰明，
練一練2
（1）說一說游樂場各景點的位置。
（2）現在小敏的位置是（4，2），她要到溜冰場去，請畫出路線圖。
五、課堂小結：
這節課你學會了什麼？（1：「我認識了數對，會用數對表示位置。2：「我學會了在方格圖中表示自己的位置。」
同學們,通過今天的學習,你學會了什麼?(確定位置)。利用這個本領,我們可以解決許多生活中的問題。只要你有一顆好奇的心,你就會發現:在我們的生活中有許多有趣的數學問題在等著你去發現、去研究!
六、你知道嗎？
1、拓展，介紹地球經緯網知識
師：我們今天學習的知識有著更廣泛的用途，下面讓我們打開所藏的寶盒去看看吧！
課件出示：在地球儀上有橫線和豎線，連接南北兩極點間的豎線叫經線，垂直於經線的橫線圈叫緯線，根據經緯線可以確定地球上任意一點的位置。
現在你知道我們國家是怎樣迅速找到汶川位置的嗎？如果我們不能馬上確定災區的位置，那後果會怎樣？由此看來，准確的確定位置對我們來說怎麼樣——非常重要！希望同學們在以後的學習和生活中確定好自己的位置，用學到的知識去解決生活中所遇到的問題。
（設計意圖：數學知識不僅僅停留在課堂上，為學生准備課外的知識，可以豐富學生的學習生活，拓寬學生的視野，由數學上的位置到學習中、生活中的位置，二者雖不盡相同，但對學生具有引領和教育價值，從而體現數學的大教育觀。）
七、板書設計：
確定位置（一）
第幾組第幾個
第3列第2個
數對----（3，2）
讀作：數對三二
教學反思 ：
1、貼近學生現實生活，充分利用學生身邊的教學資源。學生的座位是本節課的重要的學習資源，本節課力求把這一教學資源用足。寫出自己的位置，說自己好朋友的位置等一系列活動，層層深入，引導學生在認識和描述生活中的位置的基礎上，學會用數對表示位置這一新的表示位置的方法，滲透平面直角坐標系的知識。這樣設計，最大限度地貼近學生的現實生活，使學生感受到數學與生活之間的密切聯系，使學生真正成為學習活動的主人。
2、本課的教學設計，力求體現問題化理念，創設思考數學的情境，讓學生通過動口、動手、動腦，積極地探究「數對」這一數學知識的形成過程。
整節課的設計，始終貫徹這樣一個原則：把學習主動權交給學生，學生能探索的不替代，能發現的不暗示，設計更加開放的課堂，多給學生思考的時間和嘗試的機會。如：讓學生說位置，讓其他同學來猜一猜；又如讓學生寫出自己的位置，為學生創設一個豐富多彩的學習情境，調動學生的學習興趣，使學生在原有知識的基礎上，通過嘗試、探索、思考、猜測以及學生間的合作、交流，使他們能夠主動發展。
3、在精心備課的基礎下，重視課堂上的互動與生成。課前，對提出的每一個問題都認真思考，學生有可能出現的答案，並想出如何應對。經過周密考慮，備出詳細的教案。在此基礎上，在課堂上再隨機應變地處理課堂教學中學生所提的問題。整堂課，多次讓學生說位置，其他學生猜猜「他說的是誰？」調動學生參與的積極性，營造師生、生生互動的氛圍。再如，在學生匯報表示小青同學位置的時候，結合學生的匯報情況展開後面新知的教學，使環節之間連貫自然。
總之，本課力求用精彩的設計吸引學生，將愉悅的情緒和熱情鼓勵毫不吝嗇地傳給學生。為使自己在新課改的浪潮中有更大的進步，我將繼續奮力前行!