Ⅰ 如何開發數學學科的育人資源
1、 以數學知識的內在結構作為育人資源
「新基礎教育」研究提出了「要通過教學實現學科對於學生發展的獨特的價值」-，這一目標與任務是高遠而又平實的。高遠在於最終要讓學生建立起獨特的思維方式，平實在於這樣的思維方式需要通過每天每節課教學的滲透才能得以建立。那麼，有沒有實現這一目標的可能呢？
在研究的初期，我們發現幾乎沒有實現的可能！因為在課堂上，教師常常只局限在教學種形式上的改革。以小學 數學的計算教學為例，由於當時的教材按照計算形式和結果的不同，將計算知識的整體分為不同的類型：如口算和筆算，按法則依次運算和簡便運算，精確運算和估算等等。教材還按知識的難易程度，以一個個知識點，配置一個個例題的形式進行編排。教師在教學時，遵循教材的體例，一個知識點一個例題孤立地進行。課堂上雖然有了方法多樣、提問質疑、小組討論等學生「主動」活動的形式，但是，透過這種「主動」形式，可以發現學生思維的深處是「被動」的應付和服從：教師教學簡便運算的方法時，學生不會出現估算的方法；教師教學估算的方法時，學生不會用簡便運算的方法。如此按照書本知識一個知識點一個例題的教學方式，使得學生同樣很會「配合」教師，他們會圍繞著知識點質疑討論、思考多種方法。這種為方法而方法、為質疑而質疑、為討論而討論的教學形式，實質還是「教」學生機械地掌握計算方法，「育」出以被動適應為基本生存方式的人。[為了讓學生的思維真正地主動起來，「育」以主動發展為基本生存方式的人，「新基礎教育」意識到應該以數學知識的內在結構作為育人資源，樹立數學教學的整體結構觀。因為結構具有較知識點要強得多的組織和遷移能力，不僅可以使學生對結構相關的知識牢固掌握、熟練運用並加以內化，更為重要的是，通過結構的學習，可以使學生因結構的支撐而樂於、善於主動的猜想與類比，促使學生的思維真正地主動投入，形成主動學習的心態與能力。在此基礎上，還可進一步使學生具有發現、形成結構的方法及掌握和靈活使用結構的能力。關於結構的教學，我們採用「長程兩段式」的教學策略：首先需要對現有教學內容進行重組，按數學知識內在的邏輯組成結構鏈；其次需要教師打破原來的一個知識點一個例題「勻速運動」的教學方式，將每一結構單元的學習分為「教學結構」階段和「運用結構」階段。在「教學結構」階段，主要採用歸納發現的方式，讓學生從現實的問題出發，充分的體驗發現和建構，逐漸形成知識結構和學習的方法與步驟結構。這一階段的教學時間可以適度放慢。在「運用結構」階段，主要讓學生運用結構進行主動的猜想、類比與驗證。由於學生已經能夠掌握和靈活運用結構進行主動學習，這一階段的教學的時間可以加速的方式進行。
以小學數學的加、減、乘、除法的筆算教學為例，教師要確立融口算、筆算、簡算、估算為一體的整體意識，以教學筆算的運算結構為主線，將其它各種計算方法滲透在其中。在教學加法筆算的運算結構時，以「教學結構」的方式為主；在教學其它方法的筆算結構時，以「運用結構」的方式為主。我們期望達到的目標不僅是學生對運算結構的掌握和靈活運用，更為重要的是，提高教師數學教學的整體意識，努力創造條件，提供各種學生活動的機會，學會以捕捉學生所生成的資源作為契機，將口算、簡算、估算等方法綜合地滲透在教學中，以培養學生快速判斷和靈活選擇方法的意識與能力。我們認為，首先，融各種計算方法為一體的計算教學是載體，它為培養學生靈活判斷和選擇的能力服務，為培養學生整體把握問題的能力服務。其次，融各種計算方法為一體的計算教學，為學生學會根據具體情境和條件進行判斷、並靈活選擇相應的計算方法提供了舞台和發展的空間，使學生有意義的學習和靈活運用各種計算方法成為可能。這樣既可以使學生的思維得到主動地發展，又可以使計算教學的知識目標水到渠成地得到落實。
2、以數學知識創生和發展的過程作為育人資源
以往的數學教學比較重視數學知識的記憶與應用，教學中重演繹輕歸納，學生只知道記憶符號，疲於模仿與操練，卻不知道知識的來龍去脈。以數學知識創生和發展的過程作為育人資源，不但可以讓學生了解數學知識的來龍去脈，而且可以讓學生在學習過程中經歷和體驗數學知識的創生和發展的過程，感受數學的基本思想和方法，感受數學的抽象和力量，形成學習數學的內驅力，並逐漸建立起獨特的思維方式，這是其它學科無法替代的、惟有數學學科所獨有的教育價值。要還數學知識創生和發展過程的本來面目，還需要通過將教材知識點按其被發現、發展的過程進行重組與加工，實現書本知識與數學知識創生和發展過程的溝通。
例如，中學數學幾何中關於「全等三角形的判定定理」的教學，傳統教材不是按照人們發現判定定理的過程來敘述的，而是把發現的結果（四個判定定理），按照一個課時教學一個定理一個例題一組練習的形式加以編排，並且以演繹的方式呈現在學生的面前。這樣的呈現方式，首先是容易導致學生死記硬背和機械的練習；其次是容易導致學生是為學習這些判定定理而存在的；更為重要的是，容易導致學生思維的壓抑和被動。因為它對學生的學習需要缺乏關注；對學生如何經歷與體驗全等三角形判定定理的發現過程缺乏關注；對學生如何進行有意義的學習缺乏關注。也就是對學生學習全等三角形判定定理的有機過程與價值缺乏思考和研究。
為了還全等三角形判定定理發現、發展過程的本來面目，我們在實驗中首先分析了學生已有的學習經驗，以及在學習中經常會出現的困惑和需要解決的前提性問題。如確定一個三角形至少需要幾個條件？全等三角形的判定定理中至少需要有幾個條件？三角形的邊與角按照三個條件的組合共有多少種？在諸多的組合中（共有六種）是否都能成為判定定理？等等。然後對教材內容按其被發現、發展的過程進行了重組與加工：在第一教時，著重讓學生從整體感知，了解全等三角形判定定理的來龍去脈，經歷觀察、發現、猜想、驗證、歸納和概括等數學活動，體驗全等三角形判定定理的形成過程，感受滲透其中的數學思想和數學方法，感受從偶然到必然、從特殊到一般的歸納發現的思維方式。在第二或第三教時，著重讓學生對判定條件進行快速判斷和對判定定理的靈活選擇，及掌握運用判定定理進行證明時的書寫格式。第一教時的教學設計，採用歸納發現的方式進行教學。首先，提出判定三角形全等的前提性問題，以激發學生的學習需要和求知慾望；接著，可以兩人合作的形式，選擇六種組合中的一至兩種組合進行猜想和實驗驗證；然後，全班交流，歸納概括，得出六種組合中的四種能夠成為判定定理的結論。在這里，其中的兩種不構成判定定理的組合，將成為學生形成正確認識的重要資源。
如果我們把全等三角形判定定理的教學，放到整個中學幾何的判定定理的知識結構中去，這樣的教學方式都能適用，並且，可以採用「長程兩段式」的教學策略，在中學幾何出現判定定理的一開始，以「教學結構」為主，後面的判定定理的學習就可以讓學生「運用結構」進行主動的思考、猜想和發現。我們認為，這樣教學對於學生發展的價值在於：不僅讓學生整體感知和了解判定定理的來龍去脈，形成有意義的認識，而且讓學生經歷和體驗判定定理的形成過程，感受數學的思想和方法。更為重要的是，學生掌握了判定定理的知識結構和學習方法結構，在以後的判定定理的學習時，就有了主動的猜想和類比的可能，這對學生主動的思維和形成主動的學習心態都是十分重要的。在實驗中，我們不但從知識的角度，以數學整體和內在的知識結構、數學知識創生和發展的過程作為育人資源，而且還從人的角度，以數學發明與創造的人和歷史作為育人資源，以學習數學的學生的基礎和生活經驗作為育人資源。
3、以數學發明的人和歷史作為育人資源
在人類數學發展的歷史長河中，閃爍著一顆顆明亮的星星。遠，可以追溯到發現圓周率的祖沖之；近，可以聯想到蘇步青、陳景潤。許多國內的、國外的、大大小小的數學發明或創造，充分體現了前人的智慧。傳統的數學教科書雖然有提及，但大多隻作介紹而已，以後人記憶或運用前人成果之方式來呈現，導致這些重要的育人資源成為被人遺忘的角落。數學教學需要對此進行深度的開發，實現書本知識與數學發明的人和歷史的溝通，亮出數學發明最智慧的部分，作為實現數學學科育人價值的豐富資源，使學生在經歷這些數學發明的「再創造」的過程中，感受智慧、實踐智慧、體現智慧。
例如，《圓周長的計算》的教學，以往教學的重點是運用祖沖之發現的圓周率來計算圓的周長。為了讓學生當一回祖沖之，經歷圓周率的「再發現」的過程，實驗教師提供了學生許多大小不同的圓片，讓學生研究圓周長與半徑、直徑的關系，學生經研究後有了許多各自的發現：有的學生發現圓周長是半徑的6倍多一點，圓周長是直徑的3倍多一點；有的學生發現半徑是圓周長的0.16倍，直徑是圓周長的0.3倍；有的學生發現圓周長是半徑與直徑和的2倍多一點；等等，在此基礎上，教師引導學生分析、比較、歸納、概括，將這眾多的發現最終歸結為一點：圓周長是直徑的3.14倍。在這樣的課堂，學生感受了、實踐了、並再現了祖沖之的智慧，教師為學生的潛力而驚訝，為學生的發現而驚喜，也感受到了教師職業的內在尊嚴與歡樂！
又如，《厘米的認識》、《角的度量》的教學，以往都是將教學重點放在如何用直尺、量角器進行度量，卻忽視了直尺、量角器發明創造過程的價值，這些發明凝聚了前人智慧的結晶，如果把它們開發出來作為育人的豐富的資源，就可以使學生在經歷「再發明」的過程中，變得更智慧。
4、以學生的學習基礎和生活經驗作為育人資源
如果說樹立數學教學的整體結構觀尚且需要被認同和提倡的話，那麼溝通書本知識與人的生活世界和兒童經驗世界的聯系現已經被廣大教師認同和大力地實踐。但是就筆者所見，比較多的情況是用「加法思維」的方式進行改革。即用「數學問題+生活情境」來實現聯系，以為只要在課堂上設置了「生活情境」（有時設置的「情境」在生活中並不存在）就是與生活世界相聯系了，忽視的是書本知識在日常生活中真實的意義，忽視了從生活情境中抽象出數學問題的過程體驗，這樣「溝通」常常顯得表面和牽強。例如，在中學數學《解直角三角形的應用》的教學中，某教師為該教學內容制訂的教學目標是：通過教學進一步提高學生應用數學知識解決實際問題的能力。為了達成這一教學目標，該教師結合「生活實際」，創設問題情境如下：
某小區有兩幢建築物，在甲建築物上從A點到E點
掛了一條長為30米的宣傳條幅，在乙建築物的頂部D點
測得條幅頂端A點的仰角為30°，測得條幅底端E點的
附角為20°，求甲、乙兩幢建築物之間的水平距離BC
（精確到0.1米）。教師期望的答案是運用解直角三角形的方法來求得兩幢建築物之間的水平距離BC。學生知其意，也非常「配合」教師，作圖、添線構造直角三角形、利用直角三角形邊和角的關系計算，最終求得與教師期望相一致的答案。
我們知道，運用數學知識解決實際問題的基本原則是化繁為簡、化難為易。化隱為顯。在這里，化隱為顯是指揭示和顯現隱藏在日常生活情境中的數學問題或數學模型。求兩幢建築物之間的距離確實是生活中的實際問題，但解決上述問題，完全可以用估測的方法，或者是直接測量的方法，根本不必藉助建築物的頂部某點與另一建築物仰角、附角這一多餘的轉換，來計算出兩幢建築物之間的距離。顯然，教師這個「情景」的「創設」至少是生硬的，或者說是不完全的。但值得反思的是：為什麼全班學生都按照教師設計的問題情境的思路，用解直角三角形這個復雜的辦法，來解決這一簡單的實際問題？為什麼沒有一個學生對教師設計的這個問題提出質疑？從中我們至少可以看到：數學知識聯系生活實際一定要以真實、可能為前提，否則，會造成根本上的脫離實踐。另一方面，長期的圍繞知識點「教什麼」、「練什麼」的教學方式，已使學生的思維形成被動服從的定勢，往往習慣於按照知識點來思考解決問題的方法，表現出為解題而解題，很少思考問題的真實意義。這是在改革中要十分注意避免和改變的狀態。
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