⑴ 歐拉公式是什麼
歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著名的有，復變函數中的歐拉幅角公式，即將復數、指數函數與三角函數聯系起來。拓撲學中的歐拉多面體公式。初等數論中的歐拉函數公式。歐拉公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律，它只適用於簡單多面體。常用的歐拉公式有復數函數e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr
，
物理學公式F=fe^ka等。
復變函數
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里佔有非常重要的地位。[2]
歐拉公式
e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos
x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin
x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的展開式中把x換成±ix.
(±i)^2=-1,
(±i)^3=∓i,
(±i)^4=1
……
e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
恆等式
e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數字聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」
那麼這個公式的證明就很簡單了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。
那麼這里的π就是x，那麼
e^iπ=cosπ+isinπ
=-1
那麼e^iπ+1=0
這個公式實際上是前面公式的一個應用。
分式
分式里的歐拉公式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
三角公式
三角形中的歐拉公式：
設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=R＾2-2Rr
拓撲學說
拓撲學里的歐拉公式：
拓撲學V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。
如果P可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而綳在一個球面上），那麼X(P)=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼X(P)=2-2h。[3]
X(P)叫做P的歐拉示性數，是拓撲不變數，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的范圍。
初等數論
初等數論里的歐拉公式：
歐拉φ函數：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。
歐拉證明了下面這個式子：
如果n的標准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
物理學
歐拉公式應用
眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關系。現將歐拉這個頗有價值的公式列在這里：
F=fe^ka
其中，f表示我們施加的力，F表示與其對抗的力，e為自然對數的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。