1. 特徵向量裡面有個基礎解系，自由向量怎麼取
只要兩兩坐標不成比例，隨便你取，但是注意 對於只有一個自由未知量的時候不要取零，否則這時候會得出一個零向量，他與任何向量都是線性相關的，得不到線性無關組（基礎解系）。
有兩個變數可以任意取值，比如：讓X4，X2任意取值，可取為（1，0）和（0，1），分別對應一組解；這樣取既簡單，又能滿足正交。
(1)基礎解系怎麼判斷自由向量擴展閱讀：
基如果空間V中有n個線性無關的向量A1，A2，A3，…An可以線性地表示任何該空間中任意一個向量，則這n個向量是空間V的一個基。基，其實就是定義了一個空間。
易知，空間中有多個這樣的基。 最簡單的基就是空間V中的單位向量（范數是1的向量）。例如：三維向量空間 V是R3，三個標准單位向量{E1 , E2, E3} ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}。
因為E1 ,E 2, E3彼此線性無關，又可以生成V, 因此向量組{E1 , E2, E3} 是 V的一個基。這個基的基向量是由標准單位向量組成，因此{E1 , E2, E3} 又稱為三維向量空間V的標准基。
特徵向量和基礎解系：A是矩陣，x是n維向量。基礎解系是齊次方程組Ax=0的解，特徵向量是由(A-λE)x=0對應的特徵方程解得到的。
2. 關於求基礎解系 通解過程中「取值」的一些疑問
首先解系含有3-R(A)=2個自由解向量，方程為x1+x2-x3=0
不妨設自由向量為x1,x2,令x1=1,x2=0，解得x3=1
令x1=0,x2=1，解得x3=1
所以A的基礎解系為（1 0 1)^t 和（0 1 1）^t
或：
n-r(A)=3-2=1
所以解空間是一維
隨便選x3做自由變數
令x3=1，於是x1=-1，x2=-2
於是得到一個解(-1,-2,1)
(2)基礎解系怎麼判斷自由向量擴展閱讀：
先求出齊次或非齊次線性方程組的一般解，即先求出用自由未知量表示獨立未知量的一般解的形式，然後將此一般解改寫成向量線性組合的形式，則以自由未知量為組合系數的解向量均為基礎解系的解向量。由此易知，齊次線性方程組中含幾個自由未知量，其基礎解系就含幾個解向量。
（1）這組向量是該方程組的解；
（2）這組向量必須是線性無關組，即基礎解系各向量線性無關；
（3）方程組的任意解均可由基礎解系線性表出，即方程組的所有解都可以用基礎解系的量來表示。
3. 基礎解系怎麼取值
基礎解系有兩個自由變數，可以取0和1，那麼這兩個向量可以取為：（1，0）、（0，1）。
也可以是其他的，比如(2，0)、(0，2)，或者(2，0)、(0，1)等等，需要滿足取得這組向量，線性無關就可以了。齊次線性方程組AX=0的解所構成的集合稱為解空間，它的維數為n-r(A) 。
基礎解系需要滿足三個條件：
(1)基礎解系中所有量均是方程組的解。
(2)基礎解系線性無關,即基礎解系中任何一個量都不能被其餘量表示。
(3)方程組的任意解均可由基礎解系線性表出，即方程組的所有解都可以用基礎解系的量來表示。
值得注意的是：基礎解系不是唯一的，因個人計算時對自由未知量的取法而異。