❶ 基於圓孔擴張理論的岩溶地基穩定性分析
岩溶地基穩定性的評價，是岩溶地區岩土工程的一個重要內容，直接關繫到地基基礎方案的選擇確定，目前常用的岩溶穩定性評價方法有定性評價和定量評價方法。
本節主要基於圓孔擴張理論 [17,18]，從彈性理論出發，分析地基中溶洞、土洞的應力狀態，利用庫倫－摩爾准則判別，通過計算來評價岩溶地基的穩定性。
1.7.1圓球形溶（土）洞地基穩定性
1.7.1.1球形體塑性區域內的應力
1.7.1.1.1球對稱問題的應力平衡方程式
從已有的彈性理論可知，球對稱問題的應力平衡方程式為[19]：
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式中：σr——徑向應力；
σθ——切向應力；
r——孔中心到任一點的距離。
1.7.1.1.2庫倫－摩爾破壞准則
圖1.1 極限平衡條件Fig 1.1 The limit equilibrium condition
由圖1.1幾何關系可得：
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化簡得到極限平衡條件也可為：
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1.7.1.1.3微分方程及其解答
將式（1.3）代入應力平衡方程式（1.1）得：
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化簡式（1.4）得：
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令
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則式（1.5）可以寫成：
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式（1.6）為一階線性微分方程，相當於如下形式：
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式（1.7）的解為：
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式（1.8）中，C為積分常數。
將式（1.6）與式（1.8）比較：
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得：
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確定積分常數C：
當σr=pi, r=r0；並代入式（1.9）得：
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所以
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即
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將
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將
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將（1.12）代入塑性破壞判別准則式（1.3）得：
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1.7.1.2球形體彈性區域內的應力
設一半徑為a的球形體，受內壓力為Pa；並假設同球心半徑為b的球面上受一均布外壓力Pb（設b≫a）。此問題相當於厚壁球形容器在內、外壓力作用下的軸對稱彈性力學問題，見圖1.2。
根據彈性力學分析，不難得到球形容器的應力狀態方程[20]：
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式中：σθ，σr——半徑為r時，球形容器球面上的切向應力、徑向應力（kPa）;
a、b——球形容器的內、外半徑（m）;
Pa、P b——球形容器所受內、外初始壓力（kPa）。
由於b≫a，即
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圖1.2 厚壁球形容器在內、外壓力作用下示意圖Fig 1.2 Diagram for thick wall spherical container with the action of inner pressure and external pressure
圖1.3 岩溶地基彈塑性區域示意圖Fig 1.3 Diagram for elastic and plastic scope in Karst region
如圖1.3，σ0為原始應力（kPa）；σe為塑性區徑向應力（kPa）；因此，對於岩溶地基，溶（土）洞的半徑為r0，在彈塑性交界面上，半徑R 1 球面上，作用有σe的徑向應力，外圍作用有原始應力σ0。由式（1.15）可得：
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1.7.1.3溶（土）洞塑性區半徑R1
在式（1.16）中，令r=R1，可得彈塑性交界面上的應力（彈性應力）σθe和σre：
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在式（1.12）和式（1.13）中，令r=R 1，可得彈塑性交界面上的應力（塑性應力） σθp和σrp:
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彈塑性交界面上的應力應相等，即彈性應力等於塑性應力，σθe＝σθp；σre＝σrp。
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由式（1.21）兩邊乘於2，再與式（1.22）的兩邊相加，可消去σe，並解出R 1：
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若溶（土）洞內無充填，即pi=0，則溶（土）洞塑性區半徑R 1為：
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1.7.2溶（土）洞地基穩定性判別
在式（1.24）中，令R 1=r0，可得到溶（土）洞內處於臨塑狀態時，地基原始應力的允許值[σ0]。
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化簡得：
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當處於極限狀態時，基礎底面荷載p在溶（土）洞中心位置處產生的附加應力與地基岩土自重應力之和，應等於地基原始應力的允許值[σ0]，即：
[σ0]＝α·p＋γh （1.27）
式中：a——基礎底面至溶（土）洞中心點的附加應力系數；
γ——溶（土）洞中心點以上岩土體的重度，對處於地下水以下的土體取浮重度（k N/m3）;
h——溶（土）洞中心點到地面的距離（m）。
1.7.3算例
桂林市南洲大橋，橫跨灕江，採用樁基礎，以上泥盆統融縣組石灰岩（D3r）作為持力層。其中的A06 基樁，樁徑為1.0 m，設計樁荷載16000 kN，推薦樁端設計標高118.32 m，樁長34.18 m，樁端下溶洞頂板厚度為4.55 m，溶洞跨度直徑2.90 m，石灰岩黏聚力c=1.6 MPa，內摩擦角φ＝52°。
對於圓形的樁基礎，根據土力學知識，其附加應力系數
地基原始應力允許值[σ0]:
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在式（1.27）地基原始應力的允許值[σ0]計算式中：
附加應力系數：
溶洞頂板以上岩土體重度應力近似為：γh=20 ×34.18=684kPa
基礎底面荷載：
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基礎底面荷載p在溶（土）洞中心位置處產生的附加應力與地基岩土自重應力之和為：
α·p＋γh =0.0103 ×20382+684 =894kPa<[σ0]=6195kPa（ 溶洞安全）
1.7.4岩溶通道（暗流）地基穩定性
在岩溶地區，並不是所有的溶（土）洞都是球形的，有些是由潛蝕作用形成的岩溶通道，此時，可以認為是二維平面問題。
平面對稱課題的應力平衡方程式，從已有的彈性理論可知，二維平面對稱課題的應力平衡方程式為：
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用相同的方法可以得到溶（土）洞塑性區半徑R1：
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若溶（土）洞內無充填，即pi=0，則溶（土）洞塑性區半徑R 1為：
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在式（1.29）中，令R 1=r0，可得到溶（土）洞內處於臨塑狀態時，地基原始應力的允許值[σ0]。
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將式（1.26）與式（1.30）比較，可以發現三維球形洞體的地基原始應力的允許值[σ0]大於二維平面時（如岩溶通道）的地基原始應力的允許值[σ0]，三維是二維的4/3倍，換言之，相同情況下，球形洞體岩溶地基比岩溶通道更穩定。
1.7.5結論
基於圓孔擴張理論原理，推求了岩溶地基圓球形溶（土）洞塑性破壞判別准則。根據彈性理論及相關分析，可獲得地基中土洞周邊土體的應力狀態，推求了溶（土）洞塑性區半徑計算公式和方法，令溶（土）洞塑性區半徑R 1 = r0，可得到溶（土）洞內處於臨塑狀態時，地基原始應力的允許值[σ0]，據此可對岩溶地基的穩定性進行判別。同理，推導了岩溶通道（暗流）地基穩定性判別方法和公式。