① 如何求解特徵值
1. 計算行列式 |A-λE| =
1-λ 2 3
3 1-λ 2
2 3 1-λ
c1+c2+c3
6-λ 2 3
6-λ 1-λ 2
6-λ 3 1-λ
r2-r1,r3-r1
6-λ 2 3
0 -1-λ -1
0 1 -2-λ
= (6-λ)[(1+λ)(2+λ)+1]
= (6-λ)(λ^2+3λ+3)
所以A的特徵值為6.
注: λ^2+3λ+3 在實數域無法分解, A的實特徵值只有6.
2. 求特徵向量
對特徵值6, 求出齊次線性方程組 (A-6E)X=0 的基礎解系.
A-6E =
-5 2 3
3 -5 2
2 3 -5
r1+r2+r3,r2-r3
0 0 0
1 -8 7
2 3 -5
r3-2r2
0 0 0
1 -8 7
0 19 -19
r3*(1/19),r2+8r3
0 0 0
1 0 -1
0 1 -1
(A-6E)X=0 的基礎解系為 (1,1,1)^T.
所以, A的屬於特徵值6的所有特徵向量為 k(1,1,1)^T, k為非零常數.