1. 動態規劃原理之平均場博弈論
動態規劃原理在平均場博弈論中是解決最優控制問題的關鍵工具。最優控制分為確定性最優控制理論和隨機控制理論，本文主要探討確定性最優控制理論的推導過程。
動態規劃原理基於Bellman最優性原則，通過將復雜優化問題分解為一系列更簡單的子問題，實現對最優策略的求解。在這一框架下，我們定義值函數或成本函數，它依賴於系統狀態和時間，初始條件設定為函數的初始狀態。
通過對值函數的定義和優化過程的分析，我們可以將目標函數簡化為價值函數，動態規劃原理在此基礎上形成定理2.1，即定理指出，給定值函數，我們能夠確定系統在任意時間點的狀態價值。通過應用動態規劃原理，我們能夠逐步優化總成本或收益，從而找到最優策略。
值函數滿足半群性質，這意味著如果我們知道值函數在某一時點的值，我們就能預測下一時間點的值。動態規劃原理的證明基於任意可容許控制的組合，通過將復雜控制問題分解為簡單控制問題，逐步優化系統狀態。
通過動態規劃原理，我們能夠實現從初始狀態到最終狀態的最優控制策略的求解，最大化系統在時間結束時的收益或最小化成本。動態規劃原理在平均場博弈論中發揮著核心作用，提供了一種系統地求解最優控制問題的方法。