A. 特徵向量與基礎解系有何關系
特徵向量與基礎解系關系：特徵向量是特徵值對應齊次方程組的基礎解系。矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。
數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非簡並的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。
在實踐中，大型矩陣的特徵值無法通過特徵多項式計算，計算該多項式本身相當費資源，而精確的符號式的根對於高次的多項式來說很難計算和表達。
阿貝爾－魯費尼定理顯示高次（5次或更高）多項式的根無法用n次方根來簡單表達。求特徵多項式的零點，即特徵值的一般演算法，是迭代法。最簡單的方法是冪法：取一個隨機向量v，然後計算一系列單位向量。
B. 特徵向量和基礎解系有什麼關系
特徵向量與基礎解系關系:特徵向量是特徵值對應齊次方程組的基礎解系 。 特徵值向量對於矩陣而言的,特徵向量有對應的特徵值,如果Ax=ax,則x就是對應於特徵值a的特徵向量。而解向量是對於方程組而言的,就是「方程組的解」,是一個意思。
在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。
向量的記法：印刷體記作黑體（粗體）的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭「→」。 如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數對形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。
在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯系，例如向量勢對應於物理中的勢能。
幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。
不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置坐標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定范數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。
C. 特徵向量與基礎解系是一樣的嗎
1、特徵向量和基礎解系的定義不同
特徵向量（本徵向量）是一個非簡並的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。
基礎解系：齊次線性方程組的解集的極大線性無關組稱為該齊次線性方程組的基礎解系。基礎解系是線性無關的，簡單的理解就是能夠用它的線性組合表示出該方程組的任意一組解，是針對有無數多組解的方程而言的。
2、特徵向量和基礎解系的特點不同
特徵向量：是不能為0的向量，所以寫全部特徵向量時，小括弧裡面的限制是系數不同時為0。
基礎解系：而對於一個方程來說，通過基礎解系寫出通解，並且0向量也是該線性方程組的解，因此沒有 不同時為0的限制，即系數可以為0。
3、特徵向量和基礎解系的性質不同
特徵向量：對應的特徵值是它所乘的那個縮放因子；特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特徵向量；線性變換的主特徵向量是最大特徵值對應的特徵向量；特徵值的幾何重次是相應特徵空間的維數。
基礎解系：針對有無數多組解的方程而言，若是齊次線性方程組則應是有效方程的個數少於未知數的個數，若非齊次則應是系數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，且都小於未知數的個數。
(3)基礎解析為什麼可以是特徵向量擴展閱讀：
計算矩陣的特徵值和特徵向量
假設我們想要計算給定矩陣的特徵值。若矩陣很小，我們可以用特徵多項式進行符號演算。但是，對於大型矩陣這通常是不可行的，在這種情況我們必須採用數值方法。
求特徵值
描述正方形矩陣的特徵值的重要工具是特徵多項式，λ是A的特徵值等價於線性方程組(A – λI) v = 0 （其中I是單位矩陣）有非零解v (一個特徵向量)，因此等價於行列式|A – λI|=0。
函數p(λ) = det(A – λI)是λ的多項式，因為行列式定義為一些乘積的和，這就是A的特徵多項式。矩陣的特徵值也就是其特徵多項式的零點。
一個矩陣A的特徵值可以通過求解方程pA(λ) = 0來得到。 若A是一個n×n矩陣，則pA為n次多項式，因而A最多有n個特徵值。
反過來，代數基本定理說這個方程剛好有n個根，如果重根也計算在內的話。所有奇數次的多項式必有一個實數根，因此對於奇數n，每個實矩陣至少有一個實特徵值。在實矩陣的情形，對於偶數或奇數的n，非實數特徵值成共軛對出現。
D. 線性代數特徵向量和基礎解系的區別，一直分不清有啥聯系。
對於n階矩陣A：特徵向量是滿足Aα=λα的列向量，在此，A的秩表示非零特徵值的個數。
基礎解系是滿足AX=0的列向量，在此，A的秩用來判斷基礎解系中線性無關的解向量的個數，個數是n-r(A)個。通過對比AX=0和Aα=λα，可見，A的齊次解向量正好是A相應於λ=0的特徵向量。
特徵值向量對於矩陣而言的，特徵向量有對應的特徵值，如果Ax=ax，則x就是對應於特徵值a的特徵向量。而解向量是對於方程組而言的，就是「方程組的解」，是一個意思。
特徵值
描述正方形矩陣的特徵值的重要工具是特徵多項式，λ是A的特徵值等價於線性方程組(A – λI) v = 0 有非零解v ，因此等價於行列式|A – λI|=0。函數p(λ) = det(A – λI)是λ的多項式，因為行列式定義為一些乘積的和，這就是A的特徵多項式。矩陣的特徵值也就是其特徵多項式的零點。
所有奇數次的多項式必有一個實數根，因此對於奇數n，每個實矩陣至少有一個實特徵值。在實矩陣的情形，對於偶數或奇數的n，非實數特徵值成共軛對出現。
以上內容參考：網路-特徵向量