Ⅰ 何為「集合論」
集合論
初中畢業升入高一級學校的同學們會一致發現自己所學的第一個數學概念都是：集合。這門研究集合的數學理論在現代數學中被恰當地稱為集合論。它是數學的一個基本分支，在數學中占據著一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數學的所有領域。如果把現代數學比作一座無比輝煌的大廈，那麼可以說集合論正是構成這座大廈的基石，由此可見它在數學中的重要性。其創始人康托爾也以其集合論的成就被譽為對二十世紀數學發展影響最深的學者之一。下面就讓我們一起去探究一下這門獨特而重要的數學理論的來龍去脈，追覓它所走過的曲折歷程吧。集合論的誕生 集合論是德國著名數學家康托爾於19世紀末創立的。 十七世紀數學中出現了一門新的分支：微積分。在之後的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發展並結出了豐碩成果。其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎。十九世紀初，許多迫切問題得到解決後，出現了一場重建數學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出「集合」的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合並起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾於1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。康托爾的不朽功績 在中學數學中我們所學習的只是集合論的最基本知識。學習過程中，同學們或許覺得一切都是很自然與簡單的，根本無法想像它在誕生之日遭到激烈反對的情景，也體會不到康托爾的功績之所在。前蘇聯數學家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說：「康托爾的不朽功績在於他向無窮的冒險邁進」。因而只有當我們了解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什麼結論後才會真正明白他工作的價值之所在和眾多反對之聲之由來。 數學與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱。因為這一原因，在數學發展的歷程中，數學家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，並盡可能迴避這一概念。但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路。他把無窮集這一詞彙引入數學，從而進入了一片未開墾的處女地，開辟出一個奇妙無比的新世界。對無窮集的研究使他打開了「無限」這一數學上的潘多拉盒子。下面就讓我們來看一下盒子打開後他釋放出的是什麼。 「我們把全體自然數組成的集合簡稱作自然數集，用字母N來表示。」學過集合那一章後，同學們應該對這句話不會感到陌生。但同學們在接受這句話時根本無法想到當年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作。在此以前數學家們只是把無限看作永遠在延並襪伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋。無限永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。這種關於無窮的觀念在數學上被稱為潛無限。十八世紀數學王子高斯就持這種觀點。用他的話說，就是「……我反對將無窮量作為一個實體，這在數氏蔽告學中是從來不允許的。所謂無窮，只是一種說話的方式……」而當康托爾把全體自然數看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數學上稱為實無限思想。由於潛無限思想在微積分的基礎重建中已經獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數學家的批評與攻擊是無足為怪的。然而康托爾並未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續正面探討無窮。他在實無限觀念基礎上進一步得出一系列結論，創立了令人振奮的、意義十分深遠的理論。這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界。 最能顯示出他獨創性的是他對無窮集元素個數問題的研究。他提出用一一對應准則來比較無窮集元素的個數。他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數相同，用他自己的概念是等勢。由於一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應――例如同學們很容易發現自然數集與正偶數集之間存在著一一對應關系――也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數。這與傳統觀念「全體大於部分」相矛盾。而康托爾認為這恰恰是無窮集的特徵。在此意義上，自然數集與正偶數集具有了相同的個數，他將其稱為可數集。又可容易地證明有理數集與自然數集等勢，因而殲明有理數集也是可數集。後來當他又證明了代數數[注]集合也是可數集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數集。但出乎意料的是，他在1873年證明了實數集的勢大於自然數集。這不但意味著無理數遠遠多於有理數，而且顯然龐大的代數數與超越數相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣：「點綴在平面上的代數數猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數構成。」而當他得出這一結論時，人們所能找到的超越數尚僅有一兩個而已。這是何等令人震驚的結果！然而，事情並未終結。魔盒一經打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限於可數集這一個無窮數的怪物。從上述結論中康托爾意識到無窮集之間存在著差別，有著不同的數量級，可分為不同的層次。他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在著無窮多個層次。他取得了成功，並且根據無窮性有無窮種的學說，對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列，他稱為「超限數」。他用希伯萊字母表中第一個字母「阿列夫」來表示超限數的精靈，最終他建立了關於無限的所謂阿列夫譜系 它可以無限延長下去。就這樣他創造了一種新的超限數理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景。可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結論在當時會如何震動數學家們的心靈了。毫不誇張地講，康托爾的關於無窮的這些理論，引起了反對派的不絕於耳的喧囂。他們大叫大喊地反對他的理論。有人嘲笑集合論是一種「疾病」，有人嘲諷超限數是「霧中之霧」，稱「康托爾走進了超限數的地獄」。作為對傳統觀念的一次大革新，由於他開創了一片全新的領域，提出又回答了前人不曾想到的問題，他的理論受到激烈地批駁是正常的。當回頭看這段歷史時，或許我們可以把對他的反對看作是對他真正具有獨創性成果的一種褒揚吧。公理化集合論的建立 集合論提出伊始，曾遭到許多數學家的激烈反對，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，他得了精神分裂症，幾次陷於精神崩潰。然而集合論前後經歷二十餘年，最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學家們的贊同。數學家們為一切數學成果都可建立在集合論基礎上的前景而陶醉了。他們樂觀地認為從算術公理系統出發，藉助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。在1900年第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣布「……數學已被算術化了。今天，我們可以說絕對的嚴格已經達到了。」然而這種自得的情緒並沒能持續多久。不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數學界。這就是1902年羅素得出的羅素悖論。羅素構造了一個所有不屬於自身（即不包含自身作為元素）的集合R。現在問R是否屬於R？如果R屬於R，則R滿足R的定義，因此R不應屬於自身，即R不屬於R；另一方面，如果R不屬於R，則R不滿足R的定義，因此R應屬於自身，即R屬於R。這樣，不論何種情況都存在著矛盾。這一僅涉及集合與屬於兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的餘地。絕對嚴密的數學陷入了自相矛盾之中。這就是數學史上的第三次數學危機。危機產生後，眾多數學家投入到解決危機的工作中去。1908年，策梅羅提出公理化集合論，後經改進形成無矛盾的集合論公理系統，簡稱ZF公理系統。原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理。它保留了樸素集合論的有價值的成果並消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數學危機。公理化集合論的建立，標志著著名數學家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創造的樂園中趕出去。 從康托爾提出集合論至今，時間已經過去了一百多年，在這一段時間里，數學又發生了極其巨大的變化，包括對上述經典集合論作出進一步發展的模糊集合論的出現等等。而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的。因而當現在回頭去看康托爾的貢獻時，我們仍然可以引用當時著名數學家對他的集合論的評價作為我們的總結。 它是對無限最深刻的洞察，它是數學天才的最優秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一。 超限算術是數學思想的最驚人的產物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現之一。 這個成就可能是這個時代所能誇耀的最偉大的工作。 康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數學的最令人不安的獨創性貢獻之一。註：整系數一元n次方程的根，叫代數數。如一切有理數是代數數。大量無理數也是代數數。如根號2。因為它是方程x2-2=0的根。實數中不是代數數的數稱為超越數。相比之下，超越數很難得到。第一個超越數是劉維爾於1844年給出的。關於π是超越數的證明在康托爾的研究後十年才問世。
Ⅱ 高一數學集合的基本運算知識點
當一個小小的心念變成成為行為時，便能成了習慣;從而形成性格，而性格就決定你一生的成敗。成功與不成功之間有時距離很短——只要後者再向前幾步。我高一頻道為莘莘學子整理了《高 一年級數學 《集合》知識點 總結 》，希望對你有所幫助!
高一數學 集合的基本運算知識點
一.知識歸納：
1.集合的有關概念。
1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示 方法 ：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類：有限集，無限集，空集。
4)常用數集：N，Z，Q，R，N
2.子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。
1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);
2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且)
3)交集：A∩B={∈A且x∈B}
4)並集：A∪B={∈A或x∈B}
5)補集：CUA={A但x∈U}
注意：①?A，若A≠?，則?A;
②若，，則;
③若且，則A=B(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。
4.有關子集的幾個等價關系
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
5.交、並集運算的性質
①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
6.有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。
二.例題講解：
【例1】已知集合M={=m+,m∈Z},N={=,n∈Z},P={=,p∈Z}，則M,N,P滿足關系
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一：從判斷元素的共性與區別入手。
解答一：對於集合M：{=,m∈Z};對於集合N：{=,n∈Z}
對於集合P：{=,p∈Z}，由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數，而6m+1表示被6除餘1的數，所以MN=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，這時不要急於判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。
=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，
=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以選B。
點評：由於思路二隻是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設集合，，則(B)
A.M=NB.MNC.NMD.
解：
當時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B
【例2】定義集合AB={∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則AB的子集個數為
A)1B)2C)3D)4
分析：確定集合AB子集的個數，首先要確定元素的個數，然後再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵AB={∈A且xB}，∴AB={1,7}，有兩個元素，故AB的子集共有22個。選D。
變式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那麼集合M的個數為
A)5個B)6個C)7個D)8個
變式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有個.
【例3】已知集合A={2+px+q=0},B={2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A
∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴∴
變式：已知集合A={2+bx+c=0},B={2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,m的值.
解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴
又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={>-2}，且A∩B={x1<>
分析：先化簡集合A，然後由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬於B，哪些元素不屬於B。
解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>
<><-1或x>
綜合以上各式有B={x-1≤x≤5}
變式1：若A={3+2x2-8x>0}，B={2+ax+b≤0},已知A∪B={>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。
變式2：設M={2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM
①當時，ax-1=0無解，∴a=0②
綜①②得：所求集合為{-1，0，}
【例5】已知集合，函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數a的取值范圍。
分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用參數分離求解。
解答：(1)若，在內有有解
令當時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關於x的方程有實根,求實數a的取值范圍。
解答：
點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類討論，但並不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。
三.隨堂演練
選擇題
1.下列八個關系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}
⑥0⑦{0}⑧{}其中正確的個數
(A)4(B)5(C)6(D)7
2.集合{1，2，3}的真子集共有
(A)5個(B)6個(C)7個(D)8個
3.集合A={x}B={}C={}又則有
(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一個
4.設A、B是全集U的兩個子集，且AB，則下列式子成立的是
(A)CUACUB(B)CUACUB=U
(C)ACUB=(D)CUAB=
5.已知集合A={}，B={}則A=
(A)R(B){}
(C){}(D){}
6.下列語句：(1)0與{0}表示同一個集合;(2)由1，2，3組成的集合可表示為
{1，2，3}或{3，2，1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為{1，1，2};(4)集合{}是有限集，正確的是
(A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3)
(C)只有(2)(D)以上語句都不對
7.設S、T是兩個非空集合，且ST，TS，令X=S那麼S∪X=
(A)X(B)T(C)Φ(D)S
8設一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式，則不等式ax2+bx+c0的解集為
(A)R(B)(C){}(D){}
填空題
9.在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，則x=
11.若A={x}B={x},全集U=R，則A=
12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個負根，則k的取值范圍是
13設集合A={},B={x},且AB，則實數k的取值范圍是。
14.設全集U={x為小於20的非負奇數}，若A(CUB)={3，7，15}，(CUA)B={13，17，19}，又(CUA)(CUB)=，則AB=
解答題
15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3}，求實數a。
16(12分)設A=，B=，
其中xR,如果AB=B，求實數a的取值范圍。
四.習題答案
選擇題
12345678
CCBCBCDD
填空題
9.{(x,y)}10.0,11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示：A={0，-4}，又AB=B，所以BA
(Ⅰ)B=時，4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}時，0得a=-1
(Ⅲ)B={0，-4}，解得a=1
綜上所述實數a=1或a-1
高一數學集合的基本運算知識點
集合具有某種特定性質的事物的總體。這里的「事物」可以是人，物品，也可以是數學元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：緊急～。2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素：有理數的～。3、 口號 等等。集合在數學概念中有好多概念，如集合論：集合是現代數學的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德國數學家先驅，是集合論的，目前集合論的基本思想已經滲透到現代數學的所有領域。
集合，在數學上是一個基礎概念。什麼叫基礎概念?基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下「定義」。
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起，使之成為一個整體(或稱為單體)，這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。
元素與集合的關系
元素與集合的關系有「屬於」與「不屬於」兩種。
集合與集合之間的關系
某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。『說明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A?B。若A是B的子集，且A不等於B，則A稱作是B的真子集，一般寫作A?B。中學教材課本里將?符號下加了一個≠符號(如右圖)，不要混淆，考試時還是要以課本為准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
集合的幾種運演算法則
並集：以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並(集)，記作A∪B(或B∪A)，讀作「A並B」(或「B並A」)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以屬於A且屬於B的元差集表示
素為元素的集合稱為A與B的交(集)，記作A∩B(或B∩A)，讀作「A交B」(或「B交A」)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那麼因為A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那麼說A∪B={1，2，3，5}。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍數的數有多少個。結果是3，5，7每項減集合
1再相乘。48個。對稱差集：設A，B為集合，A與B的對稱差集A?B定義為：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，則A?B={a，c，d}對稱差運算的另一種定義是：A?B=(A∪B)-(A∩B)無限集：定義：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令N是正整數的全體，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數n，使得集合A與N_n一一對應，那麼A叫做有限集合。差：以屬於A而不屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集)。記作：AB={x│x∈A，x不屬於B}。註：空集包含於任何集合，但不能說「空集屬於任何集合」.補集：是從差集中引出的概念，指屬於全集U不屬於集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬於A}空集也被認為是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那麼全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。在信息技術當中，常常把CuA寫成~A。
集合元素的性質
1.確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如「個子高的同學」「很小的數」都不能構成集合。這個性質主要用於判斷一個集合是否能形成集合。2.獨立性：集合中的元素的個數、集合本身的個數必須為自然數。3.互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同於{1，2}。互異性使集合中的元素是沒有重復，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。4.無序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一個集合。5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x<2，這就是集合純粹性。6.完備性：仍用上面的例子，所有符合x<2的數都在集合A中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。
集合有以下性質
若A包含於B，則A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大寫拉丁字母來表示，如：A，B，C…而對於集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相當於集合的名字，沒有任何實際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的，例如：A={…}的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括弧括起來的，括弧內部是具有某種共同性質的數學元素。
常用的有列舉法和描述法。1.列舉法﹕常用於表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括弧內﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用於表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在大括弧內﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性)如：小於π的正實數組成的集合表示為：{x|0
4.自然語言常用數集的符號：(1)全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集(或自然數集)，記作N;不包括0的自然數集合，記作N(2)非負整數集內排除0的集，也稱正整數集，記作Z+;負整數集內也排除0的集，稱負整數集，記作Z-(3)全體整數的集合通常稱作整數集，記作Z(4)全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互質}(正負有理數集合分別記作Q+Q-)(5)全體實數的集合通常簡稱實數集，記作R(正實數集合記作R+;負實數記作R-)(6)復數集合計作C集合的運算：集合交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合結合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合「容斥原理」在研究集合時，會遇到有關集合中的元素個數問題，我們把有限集合A的元素個數記為card(A)。例如A={a，b，c}，則card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德國數學家，集合論創始人康托爾談到集合一詞，列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求補律A∪CuA=UA∩CuA=Φ設A為集合，把A的全部子集構成的集合叫做A的冪集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示復數集C實數集R正實數集R+負實數集R-整數集Z正整數集Z+負整數集Z-有理數集Q正有理數集Q+負有理數集Q-不含0的有理數集Q
高一數學集合的基本運算知識點
並集：以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並(集)，記作A∪B(或B∪A)，讀作「A並B」(或「B並A」)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以屬於A且屬於B的元差集表示
素為元素的集合稱為A與B的交(集)，記作A∩B(或B∩A)，讀作「A交B」(或「B交A」)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那麼因為A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那麼說A∪B={1，2，3，5}。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍數的數有多少個。結果是3，5，7每項減集合
1再相乘。48個。對稱差集：設A，B為集合，A與B的對稱差集A?B定義為：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，則A?B={a，c，d}對稱差運算的另一種定義是：A?B=(A∪B)-(A∩B)無限集：定義：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令N是正整數的全體，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數n，使得集合A與N_n一一對應，那麼A叫做有限集合。差：以屬於A而不屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集)。記作：AB={x│x∈A，x不屬於B}。註：空集包含於任何集合，但不能說「空集屬於任何集合」.補集：是從差集中引出的概念，指屬於全集U不屬於集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬於A}空集也被認為是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那麼全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。在信息技術當中，常常把CuA寫成~A。
至於 學習方法 的講究，每位同學可根據自己的基礎、學習習慣、智力特點選擇適合自己的學習方法，這里主要根據教材的特點提出幾點供大家學習時參考。
l、要重視數學概念的理解。高一數學與初中數學的區別是概念多並且較抽象，學起來「味道」同以往很不一樣，解題方法通常就來自概念本身。學習概念時，僅僅知道概念在字面上的含義是不夠的，還須理解其隱含著的深層次的含義並掌握各種等價的表達方式。例如，為什麼函數y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關於直線y=x對稱，而y=f(x)與x=f-1(y)卻有相同的圖象;又如，為什麼當f(x-l)=f(1-x)時，函數y=f(x)的圖象關於y軸對稱，而y=f(x-l)與y=f(1-x)的圖象卻關於直線x=1對稱，不透徹理解一個圖象的對稱性與兩個圖象的對稱關系的區別，兩者很容易混淆。
2、『學習立體幾何要有較好的空間想像能力，而培養空間想像能力的辦法有二：一是勤畫圖;二是自製模型協助想像，如利用四直角三棱錐的模型對照習題多看，多想。但最終要達到不依賴模型也能想像的境界。
3、學習解析幾何切忌把它學成代數、只計算不畫圖，正確的辦法是邊畫圖邊計算，要能在畫圖中尋求計算途徑。
4、在個人鑽研的基礎上，邀幾個程度相當的同學一起討論，這也是一種好的學習方法，這樣做常可以把問題解決得更加透徹，對大家都有益。
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