『壹』 幾何的幾何基礎
希爾伯特《幾何基礎》 人們對《幾何原本》中在邏輯結果方面存在的一些漏洞、破綻的發現，正是推動幾何學不斷向前發展的契機。最後德國數學家希爾伯特在總結前人工作的基礎上，在他1899年發表的《幾何基礎》一書中提出了一個比較完善的幾何學的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。
希爾伯特不僅提出了—個完善的幾何體系，並且還提出了建立一個公理系統的原則。就是在一個幾何公理系統中，採取哪些公理，應該包含多少條公理，應當考慮如下三個方面的問題：
第一，共存性(和諧性)，就是在一個公理系統中，各條公理應該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統中。
第二，獨立性，公理體系中的每條公理應該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。
第三，完備性，公理體系中所包含的公理應該是足夠能證明本學科的任何新命題。
這種用公理系統來定義幾何學中的基本對象和它的關系的研究方法，成了數學中所謂的「公理化方法」，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。 公理化的方法給幾何學的研究帶來了一個新穎的觀點，在公理法理論中，由於基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什麼，只專門研究抽象的對象之間的關系、性質。從公理法的角度看，我們可以任意地用點、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結合關系、順序關系、合同關系等，使這些關系滿足公理系統中所規定的要求，這就構成了幾何學。
因此，凡是符合公理系統的元素都能構成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止只有—個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學的解釋，或者叫做某種幾何學的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學的時候，並不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。
就此，幾何學研究的對象更加廣泛了，幾何學的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學的發展帶來了深遠的影響。
『貳』 平面幾何學的基礎是什麼
?平面幾何
①基本歐氏幾何知識結構
基本的輔助線，點，圓，相似形的應用
推薦：《奧數教程-初三》各地中考題及模擬題
②對幾何結構的把握，對稱性，各種近代歐氏幾何框架，幾何變換。
推薦：《近代歐氏幾何學》，建議使用軟體幾何畫板並參與與之相關的網上討論。缺少一本習題集，可使用《幾何變換》及葉中豪的習題。《數學競賽中的平面幾何問題》(一本俄羅斯的書,此書組合幾何部分也很好)中幾何變換及反演射影幾何。
2?解析幾何
①基本知識：已知與未知的互化，元的設置，設計計算路線。
②每一步計算的幾何意義，計算中的對稱性，代數結構。
以下基本觀點：
幾何中關繫到達一定的復雜度後，代數的使用是自然而且必須的。不應一味地強調使用解析法盲目運算（解析法能解決問題，但不能很好地揭示問題的內部結構），也不應一味地強調使用純平幾。這兩者都易忽略問題的實質，一切以自然為上。
我們熟知的幾何計算方法大體有：
①歐氏幾何公理中直接使用未知量計算
②解析法
③復數法
④向量法
⑤利用定理AC⊥BD AB2+CD2=AD2+BC2
⑥三角法
但實際上每道題都有自己的結構，也有一套獨特的最簡潔的代數表示，它是一題一法。以上六種方法的使用也是因題而異，使用的過程中有諸多技巧，絕不可盲目計算。
推薦：《解析幾何的方法與技巧》《圓錐曲線的幾何性質》《三角與幾何》
3?立體幾何
推薦：《奧林匹克數學研究教程》中立體幾何部分
《奧數教程》系列中向量部分。
《幾何不等式》