A. 數學的基本結構（張景中）
數學研究的對象，慢慢地顯露出了它的輪廓。它研究結構——從不同的系統中抽象出來的共同結構。
首先是集合。集合好像是一片空地、一張白紙、一群沒有分派角色的演員。
一旦在集合的元素之間引進一些關系，集合的元素就有了自己的個性，根據關系的性質，集合上開始出現結構。
結構不是人主觀上隨意指派的，也不是在理念世界永恆存在的，它是總結大量感性經驗上升為概念的結果。
布爾巴基學派認為，數學研究的基本結構即母結構有三種：
一種叫做代數結構。集合上有了運算，能夠從兩個元素生出第三個來，就叫做有了代數結構。前面我們剛剛談過的群，就是一種基本的代數結構。
一種叫序結構。集合中某些元素之間有先後順序關系，就叫做有了序結構。序結構也是應用極廣的一種結構。數的大小關系，生物的親子關系，類的包含關系，都是序關系。
還有一種叫拓撲結構。它用來描述連續性、分離性、附近、邊界這些空間性質。
我們看到，這幾種結構恰好都是現實世界的關系與形式在我們頭腦中的反映：
代數結構——運算——來自數量關系；
講序結構——先後——來自時間觀念；
拓撲結構——連續性——來自空間經驗。
然而這些東西一旦抽象成數學概念，成為脫離具體內容的*結構*，它就可以用到任何有類似性質的系統之中，而不一定與時空、數有關了。
一個系統可以具有幾種結構。如實數系，它有加減與乘除，這是兩種互相聯系的代數結構，它有大小之分，這是序結構，它的連續性體現了拓撲結構。
基本結構可以加上一些公理派生出子結構，兩種以上的結構可以加上聯結條件產生復合結構。對於實數，如果a>b，則a+c>b+c，這就表明代數結構與序結構聯系起來了。通過結構的變化、復合、交叉，形成形形色色的數學分支，表現為氣象萬千的數學世界。
當數學家遇到新的研究對象之後，他自然而然地會想，所遇的事物能不能放到某個已知的結構之中?如果可以，便馬上動用這個結構的全部已知性質作為克敵制勝的武器。
歷史上有過這樣的例子：數學家長期不能理解復數，把它叫做虛數。後來發現，復數可以用平面上的點表示，這個發現相當於把復數的代數結構與平面的拓撲結構掛上了鉤。復數的研究立刻有了實際意義，找到了應用，獲得飛速發展。這表明，把新的陌生的對象納入已知的結構之中是多麼重要。
布爾巴基學派也承認，把數學看成研究各種結構—-這些結構以幾種母結構為骨架不斷地生長、發展——的科學，仍然是對數學現狀的粗略的近似。
可以將數學看成是一個不斷發展著的大城市，城市的建築被街道分隔，又由街道聯系起來。街道形成結構，建築在結構的規范中生長。可是確有很多有特色的建築，它的特點無法由街道的結構來解釋。這就是結構觀點的概括性。它無法關心的某些與結構關系不大的局部狀況，有時也有重要的意義。例如，數論中的大量孤立的問題(如哥德巴赫問題)，就很難與已知結構很好地聯系起來。
布爾巴基學派也主張，結構不應當是靜止的，數學的發展可能會發現新的重要基本結構。因為數學是一門生命力旺盛的科學，對它不能「蓋棺論定」，不會有終極的真理。
總的看來，布爾巴基學派把數學看成以結構為對象的科學，這種觀點是與辯證唯物論一致的。因為：它否定了數學知識的先驗觀點，主張結構來源於人們實踐的經驗，正確地描述了數學中結構概念的抽象形成過程；它用整體的觀點看數學，著眼於數學各部門的內在聯系，說明了是什麼使數學統一起來並使它有多樣性；它用變化發展的觀點看數學，主張結構不是一成不變的；它主張數學的真理性最終要用科學的實踐來檢驗，用科學上的成功經驗支持結構觀點。
結構觀點的產生，不是偶然的。布爾巴基學派自己指出：這是半個多世紀以來(即從19世紀末期到20世紀中期)數學進步的結果。其實也可以說是兩千多年數學進步的結果。公理方法從歐幾里得開始，到非歐幾何產生之後，數學家開始有了現代的公理化觀點。這種方法經過第三次數學危機的考驗，特別是由於形式主義學派爾伯特的大力提倡，在數學實踐中已生根開花，終於更上一層樓，形成了「結構」的觀念。
一開始，人們追求公理的完備性或完全性。也就是說，在公理系統中，任何一個命題的成立與否，只能有唯一的解答。這樣，具有完全性的公理系統，實質上只能描述一種對象。例如，歐幾里得的幾何公理，所描述的對象形式上盡管可以多種多樣，但是本質上只有一種，這就使公理系統應用的廣泛性受到削弱。去掉平行公理，幾何公理系統失去了完備性，可是它的適用范圍更廣了。在去掉了平行公理的幾何體系中，證明了的定理，在歐氏幾何和羅氏幾何中都成立。如果再去掉一些公理，用剩下的公理推證出來的定理，在歐氏、羅氏和黎氏幾何中都成立，叫做「絕對幾何」的定理。
數學家們發現，公理系統的不完全性不是壞事，而是好事。不完全，可以容納更豐富的對象。公理是對所研究對象的限制。限制愈多，研究面愈窄；限制適當減少，研究成果的適用范圍就更豐富了。
在這種認識的啟迪下，數學家們研究了許多不完全的公理系統，如群、環、域、線性空間、概率論、測度論，等等。數學實踐證明，對不完全公理系統的研究有強大的生命力，它促使人們對公理系統進行分解，分解成一些更基本——更不完全的公理體系，終於促成了結構觀點的出現。
B. 基礎數學是什麼
從小到大，數學一直伴隨著我們成長，從1+1，到四則運算，到解方程，到函數幾何，再到極限與無限，我們的認知從樸素的算術一步步前進，在祖國教育系統的敦促下，基本達到了懂較為抽象的函數世界。但是數學到底是什麼，大概大家還沒有一個很宏觀的概念。
數學，在很多人眼裡尚且停留在計算的程度，實際上不然。目前國內的數學專業大致最多有三個專業：計算數學，數學與應用數學，統計學三樣。由於up自己是數應的，而且嚴格上講，只有數應與數學整個理論體系最為貼合，所以此篇文章只涵蓋數應，詳細聊基礎數學。
將基礎數學分為幾大部分，經典的分類是：幾何，代數，分析，微分方程。
一、幾何（研究形狀）
煉氣期：初等幾何（二維，三維經典圖形的性質）
築基期：解析幾何（三維中考慮點線面的坐標表示，推廣至n維圖形坐標的性質）
結丹期：微分幾何（以參變數表示二維，三維光滑圖形，探索奇怪形狀的幾個曲率，並將平面上的直線外推到曲面上的測地線，表示最短距離）
元嬰期：黎曼幾何（當一個曲面作為畫布，測地線作為最短路徑，我們應該如何考慮其上圖形的微分性質呢？流形：當它動起來，又將如何考慮移動前後的變化關系呢？）
化神期：幾何研究
二、代數（多維度研究萬物，表示萬物）
煉氣期：認識多項式，理解設未知數的意義
築基期（上）：線性代數（了解行列式，矩陣運算與矩陣變換，特徵值）
這個學科可以說是抽象的起點了，但是不像小學，1+1=2可以先用1個蘋果+1個蘋果=兩個蘋果作比；這里是從1+1=2開始的。實際上，我們是為了研究更實際的問題，先學習矩陣這個數學工具，類似於先理解1+1=2，再考慮這個1，2後面與之對應的客觀事實。
但是由於矩陣後面的事實是很復雜的，為了節省時間，所以先學習其運算與特點。在學習此階段時，可以先用n維向量與它在n維空間中的變化作為抽象考慮。
築基期（下）：高等代數（與線性代數一致，加入了更多證明成分）
結丹期：抽象代數（群，環，域）
其中，群是由於對對稱性的研究產生的，比如一個正三角形有三個軸對稱，三個旋轉變化（120度，240度，360度），這幾個變換涵蓋了所有對稱性（自封閉），並且可逆，旋轉360度為恆等變換，所以這幾個變換組成的集合構成群。
環是為了模而生的，矩陣構成的集合就是一個環，它同時也是模。
域即為數域，比如實數域，復數域。
元嬰期：代數表示論
有時候一個代數（有元素，有運算的集合）不好表示，所以我們用線性空間來表示它。因為很多時候重要的是運算本身，所以用同態（保持運算）來合理連接兩者。
化神期：代數研究
三、分析（研究連續函數與連續映射）
煉氣期：函數，映射與集合（函數為數到數；映射為集合到集合，都是變化的表徵）
築基期：微積分（微分求梯度，積分求面積體積超體積）
結丹期：實變函數學十遍（給一般的集合賦予距離，用連續函數將它們映射到實數域中；在這樣的意義下考慮定義微積分）
元嬰期：復變函數（在復數域上理解連續函數，復數到復數；類似於二維平面到二維平面的映射，但是由於復數的定義有一些有意思的結論）
化神期：泛函分析心泛寒（考慮從任意集合到實數域或者復數域的映射，由於映射本身為變換的表徵，也稱之為「運算元」，「泛函」）
下一境界：分析研究
四、微分方程
煉氣期：解方程
築基期：常微分方程
結丹期：偏微分方程
C. 小學數學教材的基本結構
作為一名一線數學教師，我們都有自己對新課程改革實施以來的一些經驗積累，經過近幾年的實踐與探索，我們深深體會到:要使用好新教材，在數學課堂上培養學生的數學素養、創新意識、實踐能力，促進學生全面、持續、和諧的發展，課堂教學是改革的關鍵。因為課堂是學校教育的中心環節，教材的具體實施要通過課堂來實現，教育教學觀念是否轉變，課程標准基本理念是否得以體現主要是通過課堂教學來反映。下面我就簡單介紹一下我劃分的幾種課型:新授課、練習課、復習課、矯正課（講評課）。
作為新授課，在我們所有課型當中，應該說是最重要的。學生知識的掌握和理解大部分都都來自新授課，新授課質量的高低直接影響著學生的成績。我認為新授課的基本結構模式是:問題----探究----概括----答疑----練習。下面我就結合平常教學談談新授課教學的程序。
（1）創設情境，引入新知:
數學來源於生活，我們可以從生活中挖掘出與教材內容息息相關的素材，或談話引入，或情境引入，或製作成課件，用課件引入，通過生活實際引導學生發現數學問題，再通過學生提出的數學問題引入新課，使學生產生濃厚的學習興趣，並明確學習任務，使學生從每節課的數學課中感受到，生活中到處是數學，學數學可以解決生活中的很多問題。
（2）啟發引導，組織研討
教師針對學生提出的切合主題的問題，引導學生研究探索，動手實踐，合作交流，尋找解決問題的方式方法。這個環節的實施，低年級學生提倡師生共同研討，教師導，學生探索、交流，由淺入深，一步一步深入；中、高年級學生，教師結合教材內容及學生實際，可採用低年級師生共同研討的辦法，也可放手讓學生自主探索，但放手讓學生自主探索必須作探索方法指導，如指導學生觀察課本情境圖，指導學生動手實踐，或指導學生小組合作交流等等，集體的指導和個別的指導要相結合，使學生探索有目的、有方法。
（3）深入指導，歸納小結
通過學生自主探索後，教師組織學生集體討論，通過學生探索的解決問題的方式方法，引導學生圍繞中心內容歸納小結，形成初步系統的知識鏈。
（4）質疑問難，答疑解惑
學貴知疑，要使學生多思善思，必須先會多問善問。根據學生的質疑，教師可以把握大量的反饋信息，從而有針對性地進行疏導、釋疑、解惑，提高課堂教學的效率。我們尤其要鼓勵學困生質疑，耐心地給予解答，及時表揚鼓勵，這樣有利於兼顧「兩頭」，大面積提高教學質量。這需要我們長期不厭其煩的指導、鼓勵，使學生養成提問題的習慣，從而培養良好的思維習慣、學習習慣，不斷提高思維水平。同時，作為教師，如果我們認為哪個方面可能學生不一定清楚，由教師提問，學生解決，這也是非常有意義的。
（5）分層練習、反饋矯正
學生理解了新知識後，還需要通過練習加深理解，使知識轉化成技能，並通過練習發展學生的思維能力。練習設計要有計劃、有目的、有層次，由淺入深，由易到難，注意麵向全體，及時反饋及時矯正，及時獎勵及時強化，加強指導，最後變式提高。、
練習課是新授課的補充和延續，其主要任務是鞏固數學基礎知識和形成熟練的技能技巧。一般是在新知識教完後（新課後的自主練習）進行或一個單元後（綜合練習）。練習課教學，關鍵是練習題的設計和選擇。要注意練習的目的性、典型性、針對性、層次性、多樣性和趣味性；要注意運用題組練習，加強各種練習的協調和配合，提高練習的整體效率；練習的編排要由易到難，循序漸進；練習的結果要及時反饋評價，引導學生在對比中弄清區別，在辨析中加深理解，在概括中把握聯系，在評價中受到激勵。練習的量要適當，既要保證知識的鞏固和技能技巧的形成，又要防止學生的負擔過重。我認為，練習課的基本結構是這樣的:
（1）檢查復習。主要是回憶已學的基礎知識，特別是本課內容所需的基礎知識，同時，也進行一些基本技能訓練（包括口算訓練和解決問題的基礎訓練等）。
（2）揭示課題。明確練習的內容和要求。
（3）練習指導。練習課應防止機械重復的練習，應該有指導地進行練習，使學生通過練習有所提高。教師的練習指導，可簡要分析練習中要應用的法則、定律，並要求學生注意容易出錯的地方。有時可先組織板演練習，然後通過對錯題的評講，進行練習指導，這樣做比較自然。
（4）課堂練習。這是練習課的主要部分，要有充分的時間讓學生練習，練習要分層次，要注意應用題組練習，加強練習題之間的聯系和配合，提高練習的整體效益。
（5）練習評講。對練習中發現的普遍性問題進行評講，使學生進一步加深理解所學知識，當堂解決問題。通過練後評講，使學生的認識水平有所提高。
（6）課堂小結。可先讓學生自己小結:通過練習課，自己有什麼提高，弄清了什麼問題，總結解題規律和分析練習中的問題，作進一步的練習。
復習課的主要任務是復習鞏固所學的知識，使學生加深對已有知識的理解，並把知識系統化、條理化。根據教學進度，可以分成單元復習、期中復習和期末復習。
復習課的目的是通過對知識的條理化、綜合化、系統化的整理，使學生對知識加深理解、牢固掌握、靈活運用。復習課要有利於建構知識結構，提示知識之間內在的、本質的和必然的聯系。從縱、橫兩方面加深對知識的理解，彌補學習上的缺陷，減少記憶負擔，防止遺忘，促進學生認知結構的形成和完善。
我認為，復習課的基本結構是這樣的:
（1）宣布復習的內容和要求。
（2）出示復習提綱。對擬復習的內容作概略式的提示，幫助學生回顧總結已學過的知識，建立知識之間的縱橫聯系，加深對知識的理解，特別是重點內容。可以提出復習提綱，讓學生討論，也可以安排例題進行講解，重點指導學生如何綜合運用所學的知識解題。
（3）復習習題。這是復習課的主要部分。教師根據復習內容和要求，布置具有明確目的的復習題組，讓學生練習，使學生通過復習作業，把知識串聯起來，使之系統化、條理化、網路化，便於儲存、提取和應用。在復習進行的過程中，可安排基本練習題，鞏固、理解學過的知識。復習後的練習要有針對性，既有基本題，又有綜合題，重點要解決解題思路。
（4）復習講解。根據學生在做復習練習時反饋出來的信息，有的放矢地進行系統講解，關鍵在於把知識系統化、條理化，構建知識結構，並根據學生在復習練習時出現的問題，進行重點分析。
（5）課堂小結。可讓學生自己先作小結，通過復習課有些什麼收獲，明確了哪些問題，在此基礎上教師再做簡要的小結。必要時可以有針對性地適當布置一些家庭作業，達到繼續復習鞏固的目的。
四、矯正課（講評課）
矯正課是以總結學生的學習成果，糾正作業或測驗考查中的錯誤，鼓勵先進，幫助後進，為後繼學習掃除障礙為主要任務的課。講評前，要對學生的作業或考卷進行認真分析，找出帶共性的一般性問題，講評中，要注意發揮學生的主體作用，讓學生在講評中提高認識，受到激勵，講評後，要布置一些與講評內容密切相關的作業，讓學生練習，提高學生對講評內容的認識水平。
講評課的一般結構:
（1）情況通報。教師說明作業完成情況或測驗考查的結果。出示作業或考卷分析表。介紹作業或測驗的平均分、及格率等統計分析指標，對照教學目標，指出哪些知識點學得較好，哪些知識點還有問題。對考得較好或學習有進步的學生提出表揚，對學習有困難的學生進行鼓勵。
（2）導入課題，出示目標。根據作業或測驗中反映出來的主要問題確定講評課題和教學目標。
（3）講評。對有創見的解答加以介紹，對有代表性的錯誤分類進行評講。
（4）針對性練習。根據存在的主要問題進行針對性練習。
（5）總結。讓學生總結出自己的錯誤，及以後如何改正。
新課程改革使我們的課堂教學充滿了生機與活力，也給我們的課堂教學改革帶來了更大的發展空間和進一步發展的契機。我們准備著迎接新的挑戰，也期待著更的大收獲。
D. 數學的基礎知識是什麼
數學的基礎知識如下：
如果說數學的基礎知識，首先要看你處於哪個數學學習階段（初等數學，高等數學，或者數學研究方向）。
初等數學的話，基礎知識就是記憶使用各種定理定義（代數：一元二元一次二次方程，一元二元一次二次函數等，幾何：平面幾何，簡單立體幾何等）。
高等數學的話，基礎知識就是利用已知嘗試推演定理（各種初等函數的擴展，解析幾何，向量，立體幾何，微積分，統計學等）。
數學的簡介：
數學[英語：mathematics，源自古希臘語μθημα（máthēma）；經常被縮寫為math或maths]，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。
數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應用於現實世界的任何問題，所有的數學對象本質上都是人為定義的。從這個意義上，數學屬於形式科學，而不是自然科學。不同的數學家和哲學家對數學的確切范圍和定義有一系列的看法。
在人類歷史發展和社會生活中，數學發揮著不可替代的作用，同時也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。
E. 數學的基礎是什麼
數學基礎（Fundamental Mathematics）即研究數學的基礎，回答「數學是什麼？」，「數學的基礎是什麼？」，「數學是否和諧？」等等一些數學上的根本問題的學科。
從直覺主義、邏輯主義和形式主義的相同與不同，可以追溯到近代康德對數學本質的思考。
康德認為算術來自先驗主體對時間純形式的直觀，幾何則是對空間純形式的直觀。
這實質上是一種由主觀而客觀的思路。
康德的思想後來又在胡塞爾那裡得到繼承和發展。
胡塞爾就是從考慮「數在哪裡」的問題提出現象學還原方法的
（正比例函數、一次函數、二次函數）、一元二次方程、平面幾何、三角函數
因式分解，集合，邏輯