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矩陣方程如何求基礎解系

發布時間: 2023-08-26 09:03:05

㈠ 基礎解系怎麼求詳細步驟(基礎解系怎麼求例題)

1.步驟:求出矩陣A的簡化階梯形矩陣。

2.根據簡化階梯型矩陣的首元所在位置,寫出自由未知量。

3.根據簡化階梯型矩陣寫出和之對應的齊次線性方程組t,該方程組和原方程組解相同。

4.令自由未知量為不同的值,代入上述齊次線性方程組t,即可求得其基礎解系。

㈡ 矩陣特徵向量那個基礎解系是怎麼求出來的啊 沒看懂

寫成方程組的形式:

2x1 - x2=0【註:第1、2行是2倍的關系,故相當於一個方程】

-x1 -x3=0

x1=-x3

x2=-2x3

令x3=1,則x1=-1,x2=-2

故基礎解析為(-1,-2,1)^(T)

其實真正的設法是

令x3=-k,則x1=k,x2=2k

故基礎解析為(-k,k,2k)=k(-1,1,2)

基礎解析,等價於通解。

而(0,0,0)只是一個特解而已

第一性質

線性變換的特徵向量是指在變換下方向不變,或者簡單地乘以一個縮放因子的非零向量。

特徵向量對應的特徵值是它所乘的那個縮放因子。

特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間,還包括零向量,但要注意零向量本身不是特徵向量。

線性變換的主特徵向量是最大特徵值對應的特徵向量。

特徵值的幾何重次是相應特徵空間的維數。

有限維向量空間上的一個線性變換的譜是其所有特徵值的集合。

例如,三維空間中的旋轉變換的特徵向量是沿著旋轉軸的一個向量,相應的特徵值是1,相應的特徵空間包含所有和該軸平行的向量。該特徵空間是一個一維空間,因而特徵值1的幾何重次是1。特徵值1是旋轉變換的譜中唯一的實特徵值。

㈢ 基礎解系怎麼求 基礎解系如何求

1、基礎解系求法:確定自由未知量,對矩陣進行基礎行變換,轉化為同解方程組,代入數值,求解即可。基礎解系是大學的高等數學的學習中很重要的知識點。

2、基礎解系的定義:基礎解系是指方程組的解集的極大線性無關組,即若干個無關的解構成的能夠表示任意解的組合。

3、我們在求基礎解系時,先確定自由未知量,我們可以設AX=b的系數矩陣A的秩為r,然後對矩陣A進行初等行變換。

4、完成初等變換後,將得到的矩陣轉化為同解方程組形式。並將自由未知量xr+1,xr+2,……,xn分別取值為(n-r)組數[1,0,...,0][0,1,...,0],...,[0,1,0,...,0]。

5、這時,再將其帶入到矩陣的同解方程組中,我們就可以求得矩陣A的基礎解系了。我們遇到具體的矩陣時,只需要套用公式即可。

6、基礎解系需要滿足三個條件:基礎解系中所有量均是方程組的解;基礎解系線性無關,即基礎解系中任何一個量都不能被其餘量表示;方程組的任意解均可由基礎解系線性表出,即方程組的所有解都可以用基礎解系的量來表示。

㈣ 大學線性代數矩陣基礎解系怎麼算出的

最後這個矩陣,其實就是階梯型矩陣。階梯型矩陣的每個非零行的第一個數對應的未知量以外的其他的未知量叫自由未知量。比如這道題里,x2,x3就是自由未知量。取定自由未知量之後,基礎解系的求法就是:自由未知量輪流的讓其中一個取定一個非零熟,其他的自由未知量取0,代入方程就可以求出方程組的解向量,因為是輪流取的1,所以有幾個自由未知量,就求得了幾個解向量,這幾個解向量構成的向量組就是基礎解系。比如這道題,第一次取x2=2,x3=0;第二次取x2=0,x3=1
還有,這個非零數取多少其實都無所謂,一般的咱們為了求出來的解向量簡單,都讓解是整數為目的去選擇這個非零數,比如這道題里取x2=2,得到的第一個解向量每個分量都是整數,當然取1,-1,-2,……也都沒問題

㈤ 矩陣的特徵值求出來以後,怎麼得到基礎解系呢

把特徵值代入特徵方程,運用初等行變換法,將矩陣化到最簡,然後可得到基礎解系。求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下:

第一步:計算的特徵多項式;

第二步:求出特徵方程的全部根,即為的全部特徵值;

第三步:對於的每一個特徵值,求出齊次線性方程組:的一個基礎解系,則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。

(5)矩陣方程如何求基礎解系擴展閱讀

求特徵向量:

設A為n階矩陣,根據關系式Ax=λx,可寫出(λE-A)x=0,繼而寫出特徵多項式|λE-A|=0,可求出矩陣A有n個特徵值(包括重特徵值)。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式,求解方程(λiE-A)x=0,所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。

判斷矩陣可對角化的充要條件:

矩陣可對角化有兩個充要條件:

1、矩陣有n個不同的特徵向量;

2、特徵向量重根的重數等於基礎解系的個數。對於第二個充要條件,則需要出現二重以上的重特徵值可驗證(一重相當於沒有重根)。

若矩陣A可對角化,則其對角矩陣Λ的主對角線元素全部為A的特徵值,其餘元素全部為0。(一個矩陣的對角陣不唯一,其特徵值可以換序,但都存在由對應特徵向量順序組成的可逆矩陣P使P⁻¹AP=Λ)。

㈥ 矩陣特徵值的基礎解系 怎麼求出來的如圖線性代數矩陣特徵值求解

根據特徵值求基礎解系,類似於求解線性方程組的過程:矩陣A=
第一行1,-1,0
第二行-1,2,-1,
第三行0,-1,1,
f(λ)=|λE-A|=λ(λ-1)(λ-3),求得三個特徵值:0,1,3.

將其中一個特徵值3帶入齊次線性方程組(λ。E-A)X=0;初等變化後的矩陣:
第一行1,0,-1
第二行:0,1,2
第三行0,0,0
這里復習一下齊次線性方程組的解法:將上述矩陣中的首元素為1對應的X項放到左邊,其他放到左邊得到:X1=X3,X2=-2X3,設X3為自由未知量,參考取值規則(自行腦補一下吧?)這里隨便取一個X3=1,並求出X1=1,X2=-2;
則基礎解系:a1=第一行1,第二行-2 第三行1

㈦ 矩陣方程求基礎解系

如果題目是齊次線性方程組, 系數矩陣經初等行變換化為如此,
則進一步初等行變換,得
[1 2 3 0]
[0 1 1 0]
[0 0 0 1]
進一步初等行變換,得
[1 0 1 0]
[0 1 1 0]
[0 0 0 1]
即方程組化為
x1 = - x3
x2 = - x3
x4 = 0
取 x3 = -1, 得基礎解系 (1, 1, -1, 0)^T
齊次方程組的通解是 x = k(1, 1, -1, 0)^T。